Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, tâm $O$, cạnh $a\sqrt{2}$. Biết $SA=2a$ và $SA\perp (ABCD)$. Tính khoảng cách:

a) Từ $A$ đến $(SBC)$.

b) Từ $A$ đến $(SCD)$.

c) Từ $A$ đến $(SBD)$.

d) Gọi $M$ là trung điểm $BC$, tính khoảng cách từ $A$ đến $(SCM)$; Từ $A$ đến $(SDM)$.

e) Gọi $I$ là trung điểm $SB$, tính khoảng cách từ $A$ đến $(DIM)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a\sqrt{2};0;0)$, $C(a\sqrt{2};a\sqrt{2};0)$, $D(0;a\sqrt{2};0)$, $S(0;0;2a)$ (vì cạnh đáy $a\sqrt{2}$ nên $AB=AD=a\sqrt{2}$, $SA=2a$). Khi đó $SB=SD=a\sqrt{6}$, $BD=2a$, $AO=a$.

a) Vì $AB\perp SA$ và $AB\perp BC$ nên $AB\perp (SBC)$. Khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ là hình chiếu của $A$ lên $(SBC)$, tính qua tam giác $SAB$ vuông tại $A$, đường cao từ $A$:
$$d(A,(SBC))=\frac{AB\cdot SA}{SB}=\frac{a\sqrt{2}\cdot 2a}{a\sqrt{6}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}.$$

b) Tương tự, $AD\perp (SD\cap (SCD))$: $AD\perp SA$, $AD\perp CD$ nên $AD\perp (SCD)$. Trong tam giác $SAD$ vuông tại $A$:
$$d(A,(SCD))=\frac{AD\cdot SA}{SD}=\frac{a\sqrt{2}\cdot 2a}{a\sqrt{6}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}.$$

c) Dùng thể tích: $V_{S.ABD}=\frac{1}{3}\cdot SA\cdot \frac{1}{2}AB\cdot AD=\frac{1}{3}\cdot 2a\cdot a^2=\frac{2a^3}{3}$. Tam giác $SBD$ cân tại $S$ với $SB=SD=a\sqrt{6}$, $BD=2a$, đường cao $=\sqrt{6a^2-a^2}=a\sqrt{5}$, diện tích $=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot a\sqrt{5}=a^2\sqrt{5}$.
$$d(A,(SBD))=\frac{3V}{S_{SBD}}=\frac{2a^3}{a^2\sqrt{5}}=\frac{2a}{\sqrt{5}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}.$$

d) $M$ trung điểm $BC$: $M(a\sqrt{2};\frac{a\sqrt{2}}{2};0)$.

• Mặt phẳng $(SCM)$: vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{SC}\times \overrightarrow{SM}=(-\sqrt{2};0;-1)a$, phương trình $\sqrt{2}x+z=2a$. Khoảng cách từ $A$:
$$d(A,(SCM))=\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}.$$

• Mặt phẳng $(SDM)$: $\overrightarrow{DS}=(0;-a\sqrt{2};2a)$, $\overrightarrow{DM}=(a\sqrt{2};-\frac{a\sqrt{2}}{2};0)$, pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;\sqrt{2})$, phương trình $x+2y+\sqrt{2}z=2a\sqrt{2}$. Khoảng cách từ $A$:
$$d(A,(SDM))=\frac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{7}}=\frac{2a\sqrt{14}}{7}.$$

e) $I$ trung điểm $SB$: $I(\frac{a\sqrt{2}}{2};0;a)$. Với $\overrightarrow{DI}=(\frac{a\sqrt{2}}{2};-a\sqrt{2};a)$, $\overrightarrow{DM}=(a\sqrt{2};-\frac{a\sqrt{2}}{2};0)$, pháp tuyến của $(DIM)$:
$$\vec{n}=\overrightarrow{DI}\times \overrightarrow{DM}\sim (\sqrt{2};2\sqrt{2};3),$$
phương trình mặt phẳng qua $D$: $\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y+3z=4a$. Khoảng cách từ $A$:
$$d(A,(DIM))=\frac{4a}{\sqrt{2+8+9}}=\frac{4a}{\sqrt{19}}=\frac{4a\sqrt{19}}{19}.$$