Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SB\perp (ABCD)$ và $SB=a\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$.

a) Chứng minh $(SAD)\perp (SAB)$.

b) Tính số đo góc nhị diện $[S,CM,B]$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

c) Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $CM$.

Hình vẽ phục vụ câu a).
[Hình cần kiểm tra lại: p10_f3]

a) Ta có $\{\begin{array}{l}AD\perp AB\\ AD\perp SB\end{array}$.
Suy ra $AD\perp (SAB)$.
Suy ra $(SAD)\perp (SAB)$.

b) Trong $(ABCD)$, kẻ $BE\perp CM$ với $E\in CM$.
Suy ra $SE\perp CM$.
Suy ra $CM\perp (SEB)$.
Suy ra $SEB$ là góc nhị diện $[S,CM,B]$.
Ta có $\frac{1}{B{E}^2}=\frac{1}{B{M}^2}+\frac{1}{B{C}^2}=\frac{4}{a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{5}{a^2}$.
Suy ra $BE=\frac{a\sqrt{5}}{5}$.
Ta có $\tan SEB=\frac{SB}{BE}=\sqrt{15}$.
Suy ra $SEB\approx 76^0$.

c) Gọi $N$ là trung điểm của $CD$.
Ta có $\{\begin{array}{l}CM\not\subset (SAN)\\ CM//NA,NA\subset (SAN)\end{array}$
Suy ra $CM//(SAN)$.
Do đó, $d(SA,CM)=d((SAN),CM)$
$$=d(M,(SAN))$$
$$=\frac{1}{2}d(B,(SAN))$$
Trong $(ABCD)$, kẻ $BK\perp AN$ với $K\in AN$.
Trong $\Delta SBK$, kẻ $BH\perp SK$ với $H\in SK$.
Suy ra $BH\perp (SAN)$.
Suy ra $d(SA,CM)=\frac{1}{2}d(B,(SAN))=\frac{1}{2}BH$.
Trong $(ABCD)$, gọi $I=AN\cap BC$.
Ta có $\frac{1}{B{H}^2}=\frac{1}{B{K}^2}+\frac{1}{B{S}^2}$
$$=\frac{1}{B{A}^2}+\frac{1}{B{I}^2}+\frac{1}{B{S}^2}$$
$$=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{3a^2}=\frac{19}{12a^2}.$$
Suy ra $BH=\frac{2a\sqrt{57}}{19}$.
Vậy $d(SA,CM)=\frac{1}{2}BH=\frac{a\sqrt{57}}{19}$.