Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SC\perp (ABCD)$ và $SC=a\sqrt{2}$. Gọi $N$ là trung điểm của $BC$.

a) Chứng minh $(SAD)\perp (SCD)$.

b) Tính số đo góc nhị diện $[S,DN,C]$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

c) Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $DN$.

Hình vẽ phục vụ câu a).
[Hình cần kiểm tra lại: p10_f4]

a) Ta có $\{\begin{array}{l}AD\perp CD\\ AD\perp SC\end{array}$.
Suy ra $AD\perp (SCD)$.
Suy ra $(SAD)\perp (SCD)$.

b) Trong $(ABCD)$, kẻ $CE\perp DN$ với $E\in DN$.
Suy ra $SE\perp DN$.
Suy ra $DN\perp (SEC)$.
Suy ra $SEC$ là góc nhị diện $[S,DN,C]$.
Ta có $\frac{1}{C{E}^2}=\frac{1}{C{N}^2}+\frac{1}{C{D}^2}=\frac{4}{a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{5}{a^2}$.
Suy ra $CE=\frac{a\sqrt{5}}{5}$.
Ta có $\tan SEC=\frac{SC}{CE}=\sqrt{10}$.
Suy ra $SEC\approx 72^0$.

c) Gọi $M$ là trung điểm của $AD$.
Ta có $\{\begin{array}{l}DN\not\subset (SBM)\\ DN//MB,MB\subset (SBM)\end{array}$
Suy ra $DN//(SBM)$.
Do đó, $d(SB,DN)=d((SBM),DN)$
$$=d(N,(SBM))$$
$$=\frac{1}{2}d(C,(SBM))$$
Trong $(ABCD)$, kẻ $CK\perp BM$ với $K\in BM$.
Trong $\Delta SCK$, kẻ $CH\perp SK$ với $H\in SK$.
Suy ra $CH\perp (SBM)$.
Suy ra $d(SB,DN)=\frac{1}{2}d(C,(SBM))=\frac{1}{2}CH$.
Trong $(ABCD)$, gọi $I=BM\cap CD$.
Ta có $\frac{1}{C{H}^2}=\frac{1}{C{K}^2}+\frac{1}{C{S}^2}$
$$=\frac{1}{C{B}^2}+\frac{1}{C{I}^2}+\frac{1}{C{S}^2}$$
$$=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{2a^2}=\frac{7}{4a^2}.$$
Suy ra $CH=\frac{2a\sqrt{7}}{7}$.
Vậy $d(SB,DN)=\frac{1}{2}CH=\frac{a\sqrt{7}}{7}$.