Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh bằng $a$; $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{3}$.
a) Chứng minh tam giác $SBC$ là tam giác vuông.
b) Biết rằng $AB=a$, tính góc giữa đường thẳng $SB$ với mặt phẳng $(SAC)$.
c) Tìm cosin góc giữa $SB$ và $AC$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Lại có $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp BC$. Suy ra $BC\perp (SAB)$ (đường $BC$ vuông với hai đường cắt $SA,AB$ trong mặt phẳng $(SAB)$), do đó $BC\perp SB$. Vậy tam giác $SBC$ vuông tại $B$.

b) Hình chiếu vuông góc của $B$ trên $(SAC)$ là $O$ (vì $AC\perp BD$ và $SA\perp BD$ nên $BD\perp (SAC)$, với $O=AC\cap BD$). Do đó hình chiếu của $SB$ trên $(SAC)$ là $SO$, góc giữa $SB$ và $(SAC)$ là $\angle BSO$.
Tính: $SA=a\sqrt{3}$, $AB=a$ nên $SB=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{3a^2+a^2}=2a$. Nửa đường chéo $BO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Trong tam giác $SBO$ vuông tại $O$: $\sin \angle BSO=\frac{BO}{SB}=\frac{a\sqrt{2}/2}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{4}$.
Vậy góc giữa $SB$ và $(SAC)$ bằng $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{4}\approx 20,7^{\circ }$ (tức $\cos \angle BSO=\frac{\sqrt{14}}{4}$).

c) Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $S(0;0;a\sqrt{3})$.
$\overrightarrow{SB}=(a;0;-a\sqrt{3})$, $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$.
$\overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{AC}=a^2$; $|\overrightarrow{SB}|=2a$; $|\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{2}$.
$$\cos (\overrightarrow{SB},\overrightarrow{AC})=\frac{a^2}{2a\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}.$$
Vậy $\cos$ góc giữa $SB$ và $AC$ bằng $\frac{\sqrt{2}}{4}$.