Một tấm cầu độc kê bậc thềm được làm bằng cao su như hình vẽ sau. Biết $BCFE$ là hình vuông có cạnh bằng $1m$ và $AB=0,3m$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A$ là gốc, mặt đất là mặt phẳng $(ACFD)$ (mặt phẳng $z=0$), $AB$ thẳng đứng. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ (có dấu vuông ở $A$), có $BC$ là cạnh của hình vuông $BCFE$ nên $BC=1m$, $AB=0,3m$ nên $AC=\sqrt{1-0,09}=\sqrt{0,91}$. Vậy $B=(0;0;0,3)$, $C=(\sqrt{0,91};0;0)$.

Vì $BCFE$ là hình vuông nên $CF\perp CB$, $CF=1$ và $CF$ nằm trên mặt đất (hình chiếu của $E$ là $D$ trên mặt đất, $ED$ thẳng đứng). Vector $\overrightarrow{CF}=(x;y;0)$ thỏa $\overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{CB}=-\sqrt{0,91}x=0\Rightarrow x=0$, suy ra $\overrightarrow{CF}=(0;1;0)$. Do đó $F=(\sqrt{0,91};1;0)$, $E=(0;1;0,3)$, $D=(0;1;0)$ (kiểm tra $ED\perp FD$ đúng như hình vẽ).

a) $\sin \widehat{BCA}=\frac{AB}{BC}=\frac{0,3}{1}=0,3\ne 0,5$ → SAI.

b) Góc giữa $BF$ và mặt phẳng $(ACFD)$: hình chiếu của $B$ lên mặt đất là $A$, nên góc là góc giữa $BF$ và $AF$. $\overrightarrow{BF}=(\sqrt{0,91};1;-0,3)$, $|BF|=\sqrt{0,91+1+0,09}=\sqrt{2}$. $\sin \theta =\frac{0,3}{\sqrt{2}}\approx 0,2121\Rightarrow \theta \approx 12,25^{\circ }\ne 15,25^{\circ }$ → SAI.

c) Góc giữa $BC$ và $(ACFD)$: $\sin \phi =\frac{d(B,(ACFD))}{BC}=\frac{0,3}{1}=0,3\Rightarrow \phi \approx 17,46^{\circ }$ → ĐÚNG.

d) $BF=\sqrt{0,91+1+0,09}=\sqrt{2}m$ → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $BC=1$ (cạnh hình vuông), $AB=0,3$ nên $\sin \widehat{BCA}=\frac{AB}{BC}=0,3\ne 0,5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $B$ lên mặt đất $(ACFD)$ là $A$. Với $\overrightarrow{BF}=(\sqrt{0,91};1;-0,3)$, $|BF|=\sqrt{2}$, ta có $\sin \theta =\frac{0,3}{\sqrt{2}}\approx 0,2121$, suy ra $\theta \approx 12,25^{\circ }\ne 15,25^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(ACFD)$ là $AB=0,3$, nên $\sin \phi =\frac{0,3}{BC}=0,3\Rightarrow \phi \approx 17,46^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$BF=\sqrt{A{C}^2+C{F}^2+A{B}^2}=\sqrt{0,91+1+0,09}=\sqrt{2}m$.