Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là một hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SBC$. Lấy $M$ là điểm thuộc cạnh $CD$ sao cho $CM=2MD$.

a) Xác định giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAD)$.

b) Chứng minh rằng $MG\parallel (SBD)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $BC\parallel AD$. Ta có $BC\subset (SBC)$, $BC\not\subset (SAD)$; $AD\subset (SAD)$, $AD\not\subset (SBC)$, và $S$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAD)$. Suy ra giao tuyến $d$ của $(SBC)$ và $(SAD)$ là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $BC$ (đồng thời song song với $AD$). Cách dựng: trong mặt phẳng $(SBC)$, qua $S$ vẽ đường thẳng $d\parallel BC$; khi đó $d\subset (SBC)$ và vì $d\parallel BC\parallel AD$ nên $d\parallel (SAD)$, do đó $d$ chính là giao tuyến cần tìm.

b) Chứng minh bằng vectơ. Chọn hệ vectơ gốc tại $A$: đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$.

Vì $M\in CD$ và $CM=2MD$ nên $M$ chia đoạn $CD$ theo tỉ số $\frac{CM}{MD}=2$, do đó
$$\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AD}}{3}=\frac{\vec{b}+\vec{d}+2\vec{d}}{3}=\frac{1}{3}\vec{b}+\vec{d}.$$

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $SBC$:
$$\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}=\frac{\vec{s}+\vec{b}+(\vec{b}+\vec{d})}{3}=\frac{\vec{s}+2\vec{b}+\vec{d}}{3}.$$

Suy ra
$$\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{s}+2\vec{b}+\vec{d}}{3}-\left(\frac{\vec{b}}{3}+\vec{d}\right)=\frac{\vec{s}+\vec{b}-2\vec{d}}{3}.$$

Ta có $\overrightarrow{BS}=\vec{s}-\vec{b}$ và $\overrightarrow{BD}=\vec{d}-\vec{b}$. Kiểm tra:
$$\frac{1}{3}\overrightarrow{BS}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}(\vec{s}-\vec{b})-\frac{2}{3}(\vec{d}-\vec{b})=\frac{\vec{s}+\vec{b}-2\vec{d}}{3}=\overrightarrow{MG}.$$

Vậy $\overrightarrow{MG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BS}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BD}$, tức $\overrightarrow{MG}$ là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ $\overrightarrow{BS},\overrightarrow{BD}$ không đồng phẳng, nên $MG\parallel (SBD)$. Hơn nữa $M\in CD$, $M\ne D$ nên $M\notin (SBD)$, do đó đường thẳng $MG$ thực sự song song với mặt phẳng $(SBD)$ (không nằm trong nó). Đpcm được chứng minh.