Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ (tham khảo hình bên). Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $AM\parallel CD$, $I$ là điểm thuộc cạnh $SC$ sao cho $IC=2IS$. Đường thẳng $SD$ cắt mặt phẳng $(IMA)$ tại $H$.

Tính tỉ số $\frac{SH}{HD}$?

(AI giải đề cho tôi)
Dùng hệ vectơ với gốc $S$. Gọi $\overrightarrow{SA}=\vec{a},\overrightarrow{SB}=\vec{b},\overrightarrow{SC}=\vec{c},\overrightarrow{SD}=\vec{d}$. Vì $M$ trung điểm $BC$: $\overrightarrow{SM}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$. Vì $IC=2IS$: $\overrightarrow{SI}=\frac{\vec{c}}{3}$. Vì $AM\parallel CD$ nên tồn tại $\mu$ sao cho $\vec{a}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}-\mu (\vec{d}-\vec{c})$. Điểm $H$ thuộc $SD$: $\overrightarrow{SH}=t\vec{d}$, và $H\in (IMA)$ nên $t\vec{d}=\alpha \vec{a}+\beta \overrightarrow{SM}+\gamma \overrightarrow{SI}$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$. Thay $\vec{a}$: $t\vec{d}=(\alpha +\beta )\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}+\alpha \mu \vec{c}-\alpha \mu \vec{d}+\frac{\gamma }{3}\vec{c}$. So sánh hệ số $\vec{b}$: $\beta =-\alpha$; hệ số $\vec{c}$: $\gamma =-3\alpha \mu$; điều kiện $\alpha +\beta +\gamma =1$ cho $\alpha =\frac{-1}{3\mu }$. Suy ra $t=-\alpha \mu =\frac{1}{3}$, tức $\overrightarrow{SH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SD}$. Vậy $\frac{SH}{HD}=\frac{1/3}{2/3}=\frac{1}{2}$ (không phụ thuộc hình dạng đáy).