Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$.

b) Mặt phẳng $(\alpha )$ cắt $SA,SB,SC,SD$ tại $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$. Biết $\frac{SA}{S{A}^{\prime }}=2,\frac{SB}{S{B}^{\prime }}=3,\frac{SC}{S{C}^{\prime }}=4$. Tính tỉ số $\frac{SD}{S{D}^{\prime }}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì đáy ABCD là hình bình hành nên AB // CD. Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) cùng chứa điểm S; AB nằm trong (SAB), CD nằm trong (SCD) và AB // CD. Do đó giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng d đi qua S và song song với AB (cũng song song với CD). Vậy (SAB) ∩ (SCD) = d, với d qua S, d // AB // CD.

b) Đặt S là gốc, các vectơ $\overrightarrow{SA}=\vec{a},\overrightarrow{SB}=\vec{b},\overrightarrow{SC}=\vec{c}$. Vì ABCD là hình bình hành, trung điểm hai đường chéo trùng nhau nên $\overrightarrow{SD}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}$.

Từ các tỉ số: $\overrightarrow{S{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}\vec{a}$, $\overrightarrow{S{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}\vec{b}$, $\overrightarrow{S{C}^{\prime }}=\frac{1}{4}\vec{c}$. Gọi $t=\frac{S{D}^{\prime }}{SD}$, thì $\overrightarrow{S{D}^{\prime }}=t(\vec{a}+\vec{c}-\vec{b})$.

Vì A', B', C', D' đồng phẳng (thuộc (α)), D' phải biểu diễn được qua A', B', C' với tổng hệ số bằng 1: $\overrightarrow{S{D}^{\prime }}=\alpha \overrightarrow{S{A}^{\prime }}+\beta \overrightarrow{S{B}^{\prime }}+\gamma \overrightarrow{S{C}^{\prime }}$, $\alpha +\beta +\gamma =1$. So sánh hệ số theo $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$: $\frac{\alpha }{2}=t\Rightarrow \alpha =2t$; $\frac{\beta }{3}=-t\Rightarrow \beta =-3t$; $\frac{\gamma }{4}=t\Rightarrow \gamma =4t$. Suy ra $2t-3t+4t=1\Rightarrow 3t=1\Rightarrow t=\frac{1}{3}$.

Vậy $\frac{SD}{S{D}^{\prime }}=\frac{1}{t}=3$.