Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,CD$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $MN$ cắt $AC,BD$ tại $P,Q$. Biết $\frac{AP}{PC}=2$, tính $\frac{BQ}{QD}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ toạ độ affine: $A=0,B={\mathbf{e}}_1,C={\mathbf{e}}_2,D={\mathbf{e}}_3$. Khi đó $M=\frac{1}{2}{\mathbf{e}}_1$, $N=\frac{1}{2}({\mathbf{e}}_2+{\mathbf{e}}_3)$. Vì $\frac{AP}{PC}=2$ nên $P=\frac{2}{3}{\mathbf{e}}_2$. Gọi $Q=(1-t){\mathbf{e}}_1+t{\mathbf{e}}_3$ với $\frac{BQ}{QD}=\frac{t}{t-1}$ (Q nằm ngoài đoạn BD). Vì $M,N,P,Q$ đồng phẳng nên $Q=M+s(N-M)+r(P-M)$. So sánh toạ độ: theo ${\mathbf{e}}_3$: $t=\frac{s}{2}$; theo ${\mathbf{e}}_2$: $\frac{s}{2}+\frac{2r}{3}=\frac{2}{3}$; theo ${\mathbf{e}}_1$: $1-t=\frac{1}{2}-\frac{s}{2}-\frac{r}{2}$. Thế $s=2t$ vào phương trình theo ${\mathbf{e}}_1$: $1-t=\frac{1}{2}-t-\frac{r}{2}\Rightarrow r=-1$. Khi đó $t-\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\Rightarrow t=\frac{4}{3}$. Vậy $\frac{BQ}{QD}=\frac{t}{t-1}=\frac{4/3}{1/3}=4$.