Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC$ và $CD$, $M$ là điểm trên cạnh $SB$ sao cho $\frac{SM}{SB}=\frac{1}{4}$. Gọi $H$ là giao điểm của $MD$ và mặt phẳng $(SIK)$. Tính tỉ số $\frac{MD}{MH}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục afin với gốc $A$, đặt $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b},\overrightarrow{AD}=\mathbf{d},\overrightarrow{AS}=\mathbf{s}$. Mỗi điểm $P$ viết dưới dạng $P=x\mathbf{b}+y\mathbf{d}+z\mathbf{s}$.

- $I$ trung điểm $BC$: $I=\mathbf{b}+\frac{1}{2}\mathbf{d}$, tức $(1,\frac{1}{2},0)$.
- $K$ trung điểm $CD$: $K=\frac{1}{2}\mathbf{b}+\mathbf{d}$, tức $(\frac{1}{2},1,0)$.
- $S=(0,0,1)$, $D=(0,1,0)$.

Mặt phẳng $(SIK)$: giao tuyến của $(SIK)$ với mặt đáy $(ABCD)$ là đường thẳng $IK$, có phương trình $x+y=\frac{3}{2}$ (vì $I$: $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, $K$: $\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$). Do đó mặt phẳng $(SIK)$ có dạng $x+y+\frac{3}{2}z=\frac{3}{2}$ (kiểm tra $S$: $0+0+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$ đúng).

$M$ trên $SB$ với $\frac{SM}{SB}=\frac{1}{4}$: $M=\frac{1}{4}\mathbf{b}+\frac{3}{4}\mathbf{s}$, tức $(\frac{1}{4},0,\frac{3}{4})$.

$H$ nằm trên đường thẳng $MD$: viết $H=M+t(D-M)$ với tọa độ $(\frac{1-t}{4},t,\frac{3(1-t)}{4})$. Thay vào phương trình mặt phẳng:
$$\frac{1-t}{4}+t+\frac{3}{2}\cdot \frac{3(1-t)}{4}=\frac{3}{2}.$$
Nhân 8: $2(1-t)+8t+9(1-t)=12\Rightarrow 11-3t=12\Rightarrow t=-\frac{1}{3}$.

Vậy $H=M-\frac{1}{3}(D-M)$, tức $H$ nằm ngoài đoạn $MD$ về phía $M$ và $MH=\frac{1}{3}MD$. Suy ra $\frac{MD}{MH}=3$.