Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi $M$ là trung điểm của $SC$. Gọi $I$ giao điểm của đường thẳng $AM$ và mặt phẳng $(SBD)$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O$, $M$ trung điểm $SC$, $I=AM\cap (SBD)$.

a) Đúng. Vì $M\in SC$ nên $M\in (SNC)$, mà $N\in (SNC)$ nên đường thẳng $MN\subset (SNC)$. Giao điểm $P$ của $MN$ với $(SBD)$ thì $P\in (SNC)$ và $P\in (SBD)$, do đó $P$ thuộc giao tuyến của $(SBD)$ và $(SNC)$.

b) Đúng. Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;1;0),C(1;1;0),S(s;t;h)$. Khi đó $M\left(\frac{s+1}{2};\frac{t+1}{2};\frac{h}{2}\right)$. Mặt phẳng $(ABM)$ có phương trình $-hy+(t+1)z=0$. Thay điểm chạy trên $SD$: $(s(1-\lambda );t+\lambda (1-t);h(1-\lambda ))$ ta được $-h(t+\lambda (1-t))+(t+1)h(1-\lambda )=h(1-2\lambda )=0\Rightarrow \lambda =\frac{1}{2}$, tức $E$ là trung điểm $SD$: $E\left(\frac{s}{2};\frac{t+1}{2};\frac{h}{2}\right)$. Mặt khác $I$ là trọng tâm tam giác $SAC$ (vì $OM\parallel SA$ trong mặt phẳng $(SAC)$, $AM\cap SO$ tại trọng tâm, và $I=\frac{S+A+C}{3}=\frac{S+B+D}{3}\in (SBD)$): $I\left(\frac{s+1}{3};\frac{t+1}{3};\frac{h}{3}\right)$. Đường thẳng $BI$: $(1;0;0)+\mu \left(\frac{s-2}{3};\frac{t+1}{3};\frac{h}{3}\right)$; với $\mu =\frac{3}{2}$ ta được đúng điểm $E$. Vậy $E\in BI$.

c) Đúng. Trong mặt phẳng $(SAC)$: $O$ trung điểm $AC$, $M$ trung điểm $SC$ nên $OM\parallel SA$; do đó $AM$ cắt $SO$ tại trọng tâm $G$ của tam giác $SAC$. Vì $G\in SO\subset (SBD)$ và $G\in AM$ nên $G\equiv I$, tức $AM\cap SO=I$.

d) Sai. Vì $I$ là trọng tâm tam giác $SAC$ nằm trên trung tuyến $AM$ nên $\frac{IA}{IM}=2\ne 3$.

Khớp với đáp án mã đề 102: a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$M\in SC\subset (SNC)$ nên $MN\subset (SNC)$; giao điểm của $MN$ với $(SBD)$ thuộc cả hai mặt phẳng nên thuộc giao tuyến của $(SBD)$ và $(SNC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tọa độ hóa: $E=SD\cap (ABM)$ là trung điểm $SD$ với $E\left(\frac{s}{2};\frac{t+1}{2};\frac{h}{2}\right)$; đường thẳng $BI$ với $I$ là trọng tâm tam giác $SAC$ đi qua $E$ khi $\mu =\frac{3}{2}$. Vậy $E\in BI$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong $(SAC)$, $OM\parallel SA$ nên $AM$ cắt $SO$ tại trọng tâm tam giác $SAC$; điểm này thuộc $(SBD)$ vì $S+A+C=S+B+D$, nên chính là $I$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$I$ là trọng tâm tam giác $SAC$ trên trung tuyến $AM$ nên $\frac{IA}{IM}=2\ne 3$.