Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SD\perp (ABCD)$. Biết $DA=6a,DC=7a,SD=\sqrt{5}a$. Biết khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(SAB)$ có dạng $\frac{6a\sqrt{m}}{n}$ $(m,n\in \mathbb{Z})$. Tìm $2m-n$?

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\perp AD$ và $AB\perp SD$ nên $AB\perp (SAD)$, suy ra $(SAB)\perp (SAD)$ theo giao tuyến $SA$. Kẻ $DH\perp SA$ tại $H$ thì $DH\perp (SAB)$, do đó $d(D,(SAB))=DH$. Trong tam giác vuông $SAD$ (vuông tại $D$) có $AD=6a$, $SD=\sqrt{5}a$, nên $SA=\sqrt{36a^2+5a^2}=\sqrt{41}a$. Diện tích tam giác $SAD$: $\frac{1}{2}AD\cdot SD=\frac{1}{2}SA\cdot DH$, nên $DH=\frac{AD\cdot SD}{SA}=\frac{6a\cdot \sqrt{5}a}{\sqrt{41}a}=\frac{6a\sqrt{5}}{\sqrt{41}}=\frac{6a\sqrt{205}}{41}$. Vậy $m=205$, $n=41$, do đó $2m-n=410-41=369$.