Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang $ABCD$ với $AB\parallel CD$ và $AB=2CD=2a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$, $P$ là điểm trên cạnh $SB$ thỏa mãn $BP=2SP$.

a) Chứng minh $CD\parallel (SMN)$.

b) Gọi $Q$ là hình chiếu song song của điểm $P$ trên $mp(ABCD)$ theo phương $SA$. Tính $PQ$ theo $a$ biết tam giác $SAB$ là tam giác đều.

c) Xác định giao điểm $E$ của $SC$ và mặt phẳng $(ADP)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$ nên $MN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$, do đó $MN\parallel AB$. Mà $AB\parallel CD$ nên $MN\parallel CD$. Ta có $MN\subset (SMN)$ và $CD\not\subset (SMN)$, suy ra $CD\parallel (SMN)$.

b) Hình chiếu song song của $P$ trên $(ABCD)$ theo phương $SA$: trong mặt phẳng $(SAB)$, đường thẳng qua $P$ song song với $SA$ cắt $AB$ tại $Q$, khi đó $PQ\parallel SA$ và $Q\in (ABCD)$. Trong tam giác $SAB$, theo định lý Thales:
$$\frac{PQ}{SA}=\frac{BP}{BS}$$
Vì $BP=2SP$ nên $BP=\frac{2}{3}BS$, suy ra $PQ=\frac{2}{3}SA$. Tam giác $SAB$ đều cạnh $AB=2a$ nên $SA=2a$. Vậy $PQ=\frac{2}{3}\cdot 2a=\frac{4a}{3}$.

c) Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $F$ là giao điểm của $AD$ và $BC$. Vì $AB\parallel CD$, $AB=2CD$, tam giác $FAB$ đồng dạng tam giác $FDC$ với tỉ số $\frac{FB}{FC}=\frac{AB}{CD}=2$, nên $C$ là trung điểm của $FB$ (thứ tự điểm $F,C,B$; tương tự $F,D,A$).
Ta có $F\in AD\subset (ADP)$ và $F\in BC\subset (SBC)$, nên $(ADP)\cap (SBC)=FP$. Suy ra $E=SC\cap (ADP)=SC\cap FP$.

Xét trong mặt phẳng $(SBC)$ với hệ tọa độ $F(0;0),B(2;0),C(1;0),S(0;3)$. Vì $P\in SB$ với $BP=2SP$ tức $SP=\frac{1}{3}SB$, nên $P=S+\frac{1}{3}(B-S)=\left(\frac{2}{3};2\right)$. Đường thẳng $FP$ qua $F(0;0)$ và $P\left(\frac{2}{3};2\right)$ có phương trình $y=3x$. Đường thẳng $SC$ qua $S(0;3)$ và $C(1;0)$ có phương trình $y=3-3x$. Giải hệ $3x=3-3x$ được $x=\frac{1}{2}$, $y=\frac{3}{2}$, tức $E=\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$.

Trên đường thẳng $SC$, từ $S(0;3)$ đến $C(1;0)$, điểm $E\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$ là trung điểm của $SC$, tức $\frac{SE}{SC}=\frac{1}{2}$.

Vậy $E$ là trung điểm của $SC$ ($SE=EC=\frac{1}{2}SC$).