Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$, cạnh đáy và các cạnh bên đều bằng $a$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $SD$. Giá trị của tích vô hướng $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{SC}$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $C(a;a;0)$. Vì $SA=SB=SC=SD=a$ nên $S$ nằm trên đường thẳng qua tâm đáy và vuông góc với đáy: $S\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)$ (kiểm tra $S{A}^2=\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}+\frac{2a^2}{4}=a^2$).

$M$ trung điểm $AD$: $M\left(0;\frac{a}{2};0\right)$; $N$ trung điểm $SD$: $N\left(\frac{a}{4};\frac{3a}{4};\frac{a\sqrt{2}}{4}\right)$.

$\overrightarrow{MN}=\left(\frac{a}{4};\frac{a}{4};\frac{a\sqrt{2}}{4}\right)$, $\overrightarrow{SC}=\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)$.

Tích vô hướng: $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{SC}=\frac{a^2}{8}+\frac{a^2}{8}-\frac{2a^2}{8}=0$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (Phần 3, Câu 2: 0).