Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$, cạnh đáy và cạnh bên đều bằng $3a\sqrt{2}$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $SD$. Giá trị của tích vô hướng $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{SC}$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAD$, $M$ là trung điểm $AD$, $N$ là trung điểm $SD$ nên $MN$ là đường trung bình: $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AS}$. Do đó $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{SC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{SC}$.

Hình chóp có tất cả các cạnh bằng $3a\sqrt{2}$ nên là hình chóp đều, đáy là hình vuông cạnh $3a\sqrt{2}$, $SA=SB=SC=SD=3a\sqrt{2}$, đường chéo $AC=6a$, tâm đáy $O$ với $AO=3a$, chiều cao $SO=\sqrt{S{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{18a^2-9a^2}=3a$.

Ta có $\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, nên:
$$\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{SC}=-S{A}^2+\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{AD}.$$
Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ với $SA=SB=AB=3a\sqrt{2}$ nên góc giữa $\overrightarrow{AS}$ và $\overrightarrow{AB}$ có $\cos =\frac{1}{2}$, do đó $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{AB}=3a\sqrt{2}\cdot 3a\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}=9a^2$. Tương tự $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{AD}=9a^2$.

Vậy $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{SC}=-18a^2+9a^2+9a^2=0$, suy ra $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{SC}=0$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 2: 0).