Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy, cạnh bên $SC$ tạo với mặt phẳng $(SAB)$ một góc $30^{\circ }$. Thể tích khối chóp đó bằng

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BC\perp AB$. Lại có $SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp BC$. Suy ra $BC\perp (SAB)$. Do đó hình chiếu vuông góc của điểm $C$ lên $(SAB)$ là điểm $B$, và góc giữa đường thẳng $SC$ với mặt phẳng $(SAB)$ là góc $\widehat{CSB}=30^{\circ }$. Tam giác $SBC$ vuông tại $B$ nên $SB=\frac{BC}{\tan 30^{\circ }}=\frac{a}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=a\sqrt{3}$. Trong tam giác vuông $SAB$ tại $A$: $SA=\sqrt{S{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{(a\sqrt{3}{)}^2-a^2}=a\sqrt{2}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}{a}^2\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9), chọn B.