Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=\sqrt{3}a$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$. Khi đó xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = √3a. Trong tam giác vuông SAB (vuông tại A): SB = √(SA² + AB²) = √(3a² + a²) = 2a.

a) ĐÚNG: Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu của SC lên (ABCD), do đó góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC và AC, tức là SCA (góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng).

b) ĐÚNG: Ta có BC ⊥ AB (đáy hình vuông) và BC ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD)) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH. Mặt khác AH ⊥ SB theo giả thiết (H là hình chiếu của A lên SB). AH vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau SB và BC trong (SBC) nên AH ⊥ (SBC).

c) ĐÚNG: Vì BC ⊥ (SAB) nên BC ⊥ SB và BC ⊥ AB. Hai đường thẳng SB ⊂ (SBC) và AB ⊂ (ABC) cùng vuông góc với cạnh BC tại B, do đó góc nhị diện [S, BC, A] là góc SBA. Trong tam giác vuông SAB: tan SBA = SA/AB = √3a/a = √3 ⇒ góc SBA = 60°.

d) SAI: Khoảng cách từ A đến (SBC) chính là AH (do AH ⊥ (SBC)). AH là đường cao của tam giác vuông SAB ứng với cạnh huyền SB: AH = SA·AB/SB = (√3a·a)/(2a) = (√3a)/2 ≈ 0,866a. Trong khi √6a/3 ≈ 0,816a, hai giá trị không bằng nhau nên mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD); góc giữa SC và (ABCD) là SCA.
b) (AI giải đề cho tôi)
BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH, kết hợp AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC).
c) (AI giải đề cho tôi)
BC ⊥ (SAB) nên góc nhị diện [S,BC,A] là góc SBA; tan SBA = SA/AB = √3 ⇒ 60°.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(A,(SBC)) = AH = SA·AB/SB = √3a/2 ≈ 0,866a ≠ √6a/3 ≈ 0,816a nên mệnh đề sai.