Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông có cạnh nhỏ hơn 3, $SA\perp (ABCD)$ và $SA=3\sqrt{2}$. Một mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $A$ và vuông góc với $SC$, cắt các cạnh $SB,SC,SD$ theo thứ tự tại các điểm $B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$. Biết diện tích tứ giác $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng $\frac{\sqrt{2}}{3}$. Cạnh hình vuông có độ dài bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$, $C(a,a,0)$, $S(0,0,3\sqrt{2})$ với $a$ là cạnh hình vuông ($a<3$).

Vectơ $\overrightarrow{SC}=(a,a,-3\sqrt{2})$, mặt phẳng $(\alpha )$ qua $A$ vuông góc $SC$ có phương trình: $ax+ay-3\sqrt{2}z=0$.

Điểm $B^{\prime }$ trên $SB$: $(ta,0,3\sqrt{2}(1-t))$, thay vào: $a^{2}t-18(1-t)=0\Rightarrow t=\frac{18}{a^2+18}$, nên $B^{\prime }=\left(\frac{18a}{a^2+18},0,\frac{3\sqrt{2}{a}^2}{a^2+18}\right)$. Tương tự $D^{\prime }=\left(0,\frac{18a}{a^2+18},\frac{3\sqrt{2}{a}^2}{a^2+18}\right)$ và $C^{\prime }=\left(\frac{9a}{a^2+9},\frac{9a}{a^2+9},\frac{3\sqrt{2}{a}^2}{a^2+9}\right)$.

Tứ giác $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ đối xứng qua mặt phẳng $(SAC)$, hai đường chéo $A{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ vuông góc nhau (vì $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}\perp (1,1,0)$ và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ nằm trong mặt phẳng $x=y$).

$A{C}^{\prime }=\frac{\sqrt{2\cdot 81a^2+18a^4}}{a^2+9}=\frac{3\sqrt{2}a}{\sqrt{a^2+9}}$;

$B^{\prime }{D}^{\prime }=\frac{18\sqrt{2}a}{a^2+18}$.

Diện tích: $S=\frac{1}{2}\cdot A{C}^{\prime }\cdot B^{\prime }{D}^{\prime }=\frac{54a^2}{(a^2+18)\sqrt{a^2+9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Suy ra $162a^2=\sqrt{2}(a^2+18)\sqrt{a^2+9}$. Bình phương với $u=a^2$: $13122u^2=(u+18{)}^2(u+9)$. Thử nghiệm: $u=0,49$ cho vế trái $3150,6<$ vế phải $3244,4$; $u=0,50$ cho $3280,5>3251,4$; nghiệm $u\approx 0,4975$.

Vậy $a=\sqrt{0,4975}\approx 0,7053\approx 0,71$, khớp với đáp án $0,71$.