Cho hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh cùng bằng $12a$, đáy $ABCD$ là hình vuông. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $SA,SB$ và $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$. Tính diện tích thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng $(MNG)$.

Vì $M,N$ là trung điểm $SA,SB$ nên $MN\parallel AB\parallel CD$ và $MN=\frac{1}{2}AB=6a$.
Mặt phẳng $(MNG)$ chứa $MN\parallel CD$, qua trọng tâm $G$ kẻ đường thẳng song song với $CD$ cắt $SC,SD$ lần lượt tại $P,Q$.
Do $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$ nên $\frac{SP}{SC}=\frac{SQ}{SD}=\frac{2}{3}⟹PQ=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}(12a)=8a$.
Thiết diện là hình thang cân $MNPQ$ có đáy $MN=6a,PQ=8a$.
Trong tam giác đều $SBC$ cạnh $12a$ có $SN=6a,SP=8a,\widehat{BSC}=60^{\circ }$:
$N{P}^2=S{N}^2+S{P}^2-2SN\cdot SP\cdot \cos 60^{\circ }=6^2+8^2-2\cdot 6\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=52a^2$.
Chiều cao hình thang cân: $h=\sqrt{N{P}^2-{\left(\frac{PQ-MN}{2}\right)}^2}=\sqrt{52a^2-a^2}=\sqrt{51a^2}=a\sqrt{51}$.
Diện tích thiết diện: $S=\frac{MN+PQ}{2}\cdot h=\frac{6a+8a}{2}\cdot a\sqrt{51}=7\sqrt{51}{a}^2$. Chọn B.