Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình vuông cạnh bằng $a$. Mặt bên $SAB$ là tam giác đều, $SCD$ là tam giác vuông cân đỉnh $S$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.

a) Chứng minh $SI\perp (SCD),SJ\perp (SAB)$.

b) Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $IJ$. Chứng minh $SH\perp AC$.

c) Gọi $M$ là một điểm thuộc đường thẳng $CD$ sao cho $BM\perp SA$. Tính độ dài $AM$ theo $a$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 7.** Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$. Khi đó $I\left(\frac{a}{2};0;0\right)$, $J\left(\frac{a}{2};a;0\right)$.

Vì $SAB$ đều cạnh $a$ nên $S$ có dạng $\left(\frac{a}{2};y;h\right)$ với $y^2+h^2=\frac{3a^2}{4}$. Vì $SCD$ vuông cân tại $S$ nên $SC=SD=\frac{a}{\sqrt{2}}$, tức ${\left(y-a\right)}^2+h^2=\frac{a^2}{4}$. Trừ hai phương trình: $-2ay+a^2=-\frac{a^2}{2}\Rightarrow y=\frac{3a}{4}$, suyra $h^2=\frac{3a^2}{4}-\frac{9a^2}{16}=\frac{3a^2}{16}\Rightarrow h=\frac{a\sqrt{3}}{4}$.
Vậy $S\left(\frac{a}{2};\frac{3a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)$. (Kiểm tra: $\overrightarrow{SC}\cdot \overrightarrow{SD}=-\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{16}+\frac{3a^2}{16}=0$, đúng vuông tại $S$.)

**a)** $\overrightarrow{SI}=\left(0;\frac{3a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)$.
- $\overrightarrow{SI}\cdot \overrightarrow{CD}=0$ (vì $\overrightarrow{CD}=(-a;0;0)$), mà $CD\subset (SCD)$.
- $\overrightarrow{SI}\cdot \overrightarrow{SC}=0\cdot \left(-\frac{a}{2}\right)+\frac{3a}{4}\cdot \left(-\frac{a}{4}\right)+\frac{a\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{4}=-\frac{3a^2}{16}+\frac{3a^2}{16}=0$.
Vậy $SI\perp (SCD)$.

Tương tự $\overrightarrow{SJ}=\left(0;-\frac{a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)$:
- $\overrightarrow{SJ}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ với $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$, $AB\subset (SAB)$.
- $\overrightarrow{SJ}\cdot \overrightarrow{SA}=0\cdot \left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{a}{4}\right)\left(-\frac{3a}{4}\right)+\frac{a\sqrt{3}}{4}\cdot \left(-\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{3a^2}{16}-\frac{3a^2}{16}=0$.
Vậy $SJ\perp (SAB)$.

**b)** Đường thẳng $IJ$ là tập điểm $\left(\frac{a}{2};y;0\right)$. Hình chiếu của $S$ lên $IJ$ là $H\left(\frac{a}{2};\frac{3a}{4};0\right)$, nên $\overrightarrow{SH}=\left(0;\frac{3a}{4};-\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)$ (cùng phương với $\overrightarrow{SI}$).
Ta có $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$ nên $\overrightarrow{SH}\cdot \overrightarrow{AC}=0+\frac{3a^2}{4}+0\ne 0$? — kiểm tra lại: $\overrightarrow{SH}=(0;\frac{3a}{4};-\frac{a\sqrt{3}}{4})$, tích $\overrightarrow{SH}\cdot \overrightarrow{AC}=0\cdot a+\frac{3a}{4}\cdot a+\left(-\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)\cdot 0=\frac{3a^2}{4}\ne 0$?

Sửa lại: thực chất $SH$ chính là đường thẳng $SI$ (vì $H$ nằm trên $IJ$ và $SI\perp (SCD)\supset IJ$ nên $SI\perp IJ$, tức $H\equiv$ giao của $SI$ với $IJ$). Xét $\overrightarrow{SI}=\left(0;\frac{3a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)$ và $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$: $\overrightarrow{SI}\cdot \overrightarrow{AC}=0+\frac{3a^2}{4}+0=\frac{3a^2}{4}\ne 0$?

Kiểm tra lại bằng hình học thuần: $SH\perp IJ$ (định nghĩa hình chiếu) và $SH\subset$ mặt phẳng $(SIJ)$? Thực ra $S,I,J,H$ đồng phẳng (cùng mặt phẳng $x=\frac{a}{2}$). Trong mặt phẳng đáy, $AC$ có phương trình $y=x$, tức vectơ chỉ phương $(1;1;0)$. Vectơ $\overrightarrow{SH}$ nằm trong mặt phẳng $(SIJ)$ vuông góc với $IJ$. Mà $IJ\parallel$ trục $Oy$...

Xét lại chính xác: $\overrightarrow{SH}=\overrightarrow{IH}$? Không — $\overrightarrow{SH}=H-S=\left(0;0;-\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)$? Sai: $H=\left(\frac{a}{2};\frac{3a}{4};0\right)$, $S=\left(\frac{a}{2};\frac{3a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)$, nên $\overrightarrow{SH}=\left(0;0;-\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)$, tức $SH$ vuông góc với mặt đáy! Kiểm tra: $SH\perp IJ$ vì $IJ$ nằm trong đáy ✓. Khi đó $\overrightarrow{SH}\cdot \overrightarrow{AC}=\left(0;0;-\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)\cdot (a;a;0)=0$. Vậy $SH\perp AC$. ✓

(Giải thích hình học: vì $SI\perp (SCD)$ nên $SI\perp IJ$, do đó hình chiếu của $S$ lên $IJ$ chính là $I$... kiểm tra: $I=\left(\frac{a}{2};0;0\right)$, nhưng $\overrightarrow{SI}=\left(0;\frac{3a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)$ và $\overrightarrow{IJ}=\left(0;a;0\right)$, tích có hướng $=\frac{3a}{4}\cdot a\ne 0$? Tính: $\overrightarrow{SI}\cdot \overrightarrow{IJ}=0+\frac{3a^2}{4}+0\ne 0$ — mâu thuẫn với $SI\perp (SCD)$?

Kiểm tra lại $SI\perp (SCD)$: $\overrightarrow{SI}\cdot \overrightarrow{SD}$ với $\overrightarrow{SD}=D-S=\left(-\frac{a}{2};\frac{a}{4};-\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)$: $0+\frac{3a^2}{16}-\frac{3a^2}{16}=0$ ✓; $\overrightarrow{SI}\cdot \overrightarrow{CD}=0$ ✓. Vậy $SI\perp (SCD)$ đúng, mà $IJ\subset (SCD)$ nên $SI\perp IJ$, tức $\overrightarrow{SI}\cdot \overrightarrow{IJ}$ phải bằng 0. Tính lại $\overrightarrow{IJ}=J-I=(0;a;0)$, $\overrightarrow{SI}=S-I=\left(0;\frac{3a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)$: tích $=\frac{3a}{4}\cdot a=\frac{3a^2}{4}\ne 0$. Mâu thuẫn!

Tìm lỗi: $\overrightarrow{SI}\cdot \overrightarrow{SD}=0\cdot (-\frac{a}{2})+\frac{3a}{4}\cdot \frac{a}{4}+\frac{a\sqrt{3}}{4}\cdot (-\frac{a\sqrt{3}}{4})=\frac{3a^2}{16}-\frac{3a^2}{16}=0$ ✓. Nhưng $\overrightarrow{SI}\cdot \overrightarrow{IJ}\ne 0$ với $\overrightarrow{IJ}=(0;a;0)$? $\overrightarrow{SI}=(0;\frac{3a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4})$, nhân với $(0;1;0)$ cho $\frac{3a}{4}\ne 0$. Vậy $SI$ KHÔNG vuông góc $IJ$, nghĩa là $SI$ không vuông góc $(SCD)$?? Nhưng $SI\perp SD$ và $SI\perp CD$... $CD$ có vectơ chỉ phương $(-1;0;0)$, $\overrightarrow{SI}\cdot (-1,0,0)=0$ ✓. Hai vectơ $\overrightarrow{SD}=(-\frac{a}{2};\frac{a}{4};-\frac{a\sqrt{3}}{4})$ và $\overrightarrow{CD}=(-a;0;0)$ không đồng phẳng? $\overrightarrow{SD}$ và $\overrightarrow{CD}$: $\overrightarrow{SD}$ có thành phần $y,z$ khác 0, $\overrightarrow{CD}$ chỉ theo $x$ — chúng định hướng mặt phẳng $(SCD)$. Vectơ pháp tuyến của $(SCD)$: $\vec{n}=\overrightarrow{CD}\times \overrightarrow{SD}=(-a;0;0)\times (-\frac{a}{2};\frac{a}{4};-\frac{a\sqrt{3}}{4})=(0;-a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{4}\cdot (-1)\cdot ...)$ tính cẩn thận: $\vec{u}=(-a,0,0)$, $\vec{v}=(-\frac{a}{2},\frac{a}{4},-\frac{a\sqrt{3}}{4})$. $\vec{u}\times \vec{v}=(0\cdot (-\frac{a\sqrt{3}}{4})-0\cdot \frac{a}{4},0\cdot (-\frac{a}{2})-(-a)(-\frac{a\sqrt{3}}{4}),(-a)(\frac{a}{4})-0)=\left(0;-\frac{a^2\sqrt{3}}{4};-\frac{a^2}{4}\right)$. Vậy pháp tuyến $(0;\sqrt{3};1)$ (tỉ lệ). $\overrightarrow{SI}=(0;\frac{3a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4})$: tích với $(0;\sqrt{3};1)$: $\frac{3a\sqrt{3}}{4}+\frac{a\sqrt{3}}{4}=a\sqrt{3}\ne 0$. Vậy $SI$ KHÔNG vuông góc $(SCD)$!

Vậy khẳng định a) của đề... kiểm tra lại tọa độ $S$. Điều kiện $SAB$ đều: $SA=SB=AB=a$, $S=(\frac{a}{2};y;h)$, $y^2+h^2=\frac{3a^2}{4}$ ✓. $SCD$ vuông cân tại $S$: $SC=SD$ và $SC\perp SD$. $S{C}^2=\frac{a^2}{4}+(y-a{)}^2+h^2$, $S{D}^2=\frac{a^2}{4}+y^2+h^2$. $SC=SD\Rightarrow (y-a{)}^2=y^2\Rightarrow y=\frac{a}{2}$. À! Trước tôi dùng nhầm điều kiện $S{C}^2=\frac{a^2}{2}$ (từ $S{C}^2+S{D}^2=C{D}^2$). Với $y=\frac{a}{2}$: $h^2=\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{2}$, $h=\frac{a}{\sqrt{2}}$. Kiểm tra $SC\perp SD$: $\overrightarrow{SC}=(\frac{a}{2};-\frac{a}{2};h)$? $C-S=(a-\frac{a}{2};a-\frac{a}{2};-h)=(\frac{a}{2};\frac{a}{2};-h)$; $\overrightarrow{SD}=(-\frac{a}{2};\frac{a}{2};-h)$. Tích: $-\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}+h^2=h^2\ne 0$. Không vuông!

Vậy cần cả hai điều kiện: $SC=SD\Rightarrow y=\frac{a}{2}$; $SC\perp SD\Rightarrow -\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}+h^2=0\Rightarrow h=0$ — suy biến! Mâu thuẫn: không tồn tại $S$ với $y\ne 0$... Chờ, $SC\cdot SD=\frac{a}{2}\cdot (-\frac{a}{2})+\frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2}+h^2$? $\overrightarrow{SC}=(\frac{a}{2};\frac{a}{2};-h)$, $\overrightarrow{SD}=(-\frac{a}{2};\frac{a}{2};-h)$: tích $=-\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}+h^2=h^2$. Để bằng 0 cần $h=0$, vô lý.

Vậy với $y=\frac{a}{2}$ không được. Nhưng $SC=SD$ bắt buộc $y=\frac{a}{2}$ (vì $C,D$ đối xứng qua $x=\frac{a}{2}$... thực ra $C=(a,a)$, $D=(0,a)$, trung điểm $CD$ là $J=(\frac{a}{2},a)$; $SC=SD⟺S$ nằm trong mặt phẳng $x=\frac{a}{2}$ ✓ đã thỏa). Tích $\overrightarrow{SC}\cdot \overrightarrow{SD}=(\frac{a}{2})(-\frac{a}{2})+(y-a)(y-a)+h^2$? $\overrightarrow{SC}=(\frac{a}{2};y-a;h)$, $\overrightarrow{SD}=(-\frac{a}{2};y-a;h)$. Tích $=-\frac{a^2}{4}+(y-a{)}^2+h^2$. Với điều kiện $S{C}^2=S{D}^2$ tự động thỏa (đối xứng). Cần $-\frac{a^2}{4}+(y-a{)}^2+h^2=0$ và $y^2+h^2=\frac{3a^2}{4}$. Trừ: $(y-a{)}^2-y^2=-\frac{a^2}{4}-\frac{3a^2}{4}=-a^2\Rightarrow -2ay+a^2=-a^2\Rightarrow y=a$. Khi đó $h^2=\frac{3a^2}{4}-a^2<0$ — vô lý!

Kết luận: với cấu hình $S$ cùng phía (đáy vuông, $AB\parallel CD$, $I,J$ đối xứng), hệ điều kiện vô nghiệm. Thử $S$ ở phía bên kia ($h$ âm) không đổi. Vậy bài toán như tọa độ đã chọn vô nghiệm?

Nhưng khoan — có thể $SAB$ đều với $S$ nằm sao cho hình chiếu xuống đáy không phải trên đường $x=\frac{a}{2}$? $SA=SB=a$ bắt buộc $S$ trên mặt phẳng trung trực của $AB$, tức $x=\frac{a}{2}$. Đúng.

Vậy hình chóp với đáy vuông, $SAB$ đều, $SCD$ vuông cân tại $S$ không tồn tại? Kiểm tra lại điều kiện vuông cân: tam giác $SCD$ vuông cân đỉnh $S$ nghĩa là $\widehat{CSD}=90^{\circ }$ và $SC=SD$. Với $S=(\frac{a}{2};y;h)$: $S{C}^2=\frac{a^2}{4}+(y-a{)}^2+h^2$, $S{D}^2=\frac{a^2}{4}+y^2+h^2$ — chờ, $D=(0,a)$, $S=(\frac{a}{2},y,h)$: $S{D}^2=\frac{a^2}{4}+(y-a{)}^2+h^2$. Và $C=(a,a)$: $S{C}^2=\frac{a^2}{4}+(y-a{)}^2+h^2$. Ồ, chúng bằng nhau tự động! Tôi trước tính $SD$ với $D=(0,a)$ sai thành $(y)$ thay vì $(y-a)$. Đúng: cả $C$ và $D$ đều có tung độ $a$. Vậy $SC=SD$ luôn đúng, và $SC\perp SD⟺-\frac{a^2}{4}+(y-a{)}^2+h^2=0$.

Kết hợp $y^2+h^2=\frac{3a^2}{4}$: $(y-a{)}^2+h^2=\frac{a^2}{4}\Rightarrow y^2-2ay+a^2+h^2=\frac{a^2}{4}\Rightarrow \frac{3a^2}{4}-2ay+a^2=\frac{a^2}{4}\Rightarrow -2ay=-\frac{3a^2}{2}\Rightarrow y=\frac{3a}{4}$. Đây chính là kết quả đầu tiên! $h^2=\frac{3a^2}{4}-\frac{9a^2}{16}=\frac{3a^2}{16}$, $h=\frac{a\sqrt{3}}{4}$. Vậy $S=(\frac{a}{2};\frac{3a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4})$ — cấu hình tồn tại, tính toán ban đầu đúng.

Bây giờ kiểm tra lại a): $\overrightarrow{SI}=I-S=(0;-\frac{3a}{4};-\frac{a\sqrt{3}}{4})$ (hay $S-I$, cùng phương). $\overrightarrow{SD}=D-S=(-\frac{a}{2};\frac{a}{4};-\frac{a\sqrt{3}}{4})$. Tích: $0+(-\frac{3a}{4})(\frac{a}{4})+(-\frac{a\sqrt{3}}{4})(-\frac{a\sqrt{3}}{4})=-\frac{3a^2}{16}+\frac{3a^2}{16}=0$ ✓. $\overrightarrow{CD}=D-C=(-a;0;0)$, tích với $\overrightarrow{SI}=0$ ✓. Vậy $SI\perp (SCD)$ ✓. Và $\overrightarrow{SI}\cdot \overrightarrow{IJ}$ với $\overrightarrow{IJ}=J-I=(0;a;0)$: $(-\frac{3a}{4})\cdot a=-\frac{3a^2}{4}\ne 0$?? Nhưng $IJ\subset (SCD)$ nên phải bằng 0!

Lỗi ở đâu? $\overrightarrow{SD}=(-\frac{a}{2};\frac{a}{4};-\frac{a\sqrt{3}}{4})$, $\overrightarrow{SC}=C-S=(\frac{a}{2};\frac{a}{4};-\frac{a\sqrt{3}}{4})$. $\overrightarrow{SC}\cdot \overrightarrow{SD}=-\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{16}+\frac{3a^2}{16}=0$ ✓. Mặt phẳng $(SCD)$ chứa $S,C,D$: các điểm có $y$ từ... $S$ có $y=\frac{3a}{4}$, $C,D$ có $y=a$. Vectơ $\overrightarrow{IJ}=(0;a;0)$: điểm $I=(\frac{a}{2};0;0)$ có $y=0$ — $I$ KHÔNG thuộc $(SCD)$, nhưng đường thẳng $IJ$ có nằm trong $(SCD)$ không? $J\in (SCD)$, $I\notin (SCD)$, nên $IJ$ chỉ cắt $(SCD)$ tại $J$. Tôi nhầm: $IJ$ không nằm trong $(SCD)$! Đúng, vì $I$ không thuộc mặt phẳng $(SCD)$. Vậy không có mâu thuẫn. $SI\perp (SCD)$ và $SI\perp IJ$ không cần thiết.

Tương tự $SJ\perp (SAB)$: $\overrightarrow{SJ}=J-S=(0;\frac{a}{4};-\frac{a\sqrt{3}}{4})$. $\overrightarrow{SA}=A-S=(-\frac{a}{2};-\frac{3a}{4};-\frac{a\sqrt{3}}{4})$: tích $=0+\frac{3a^2}{16}-\frac{3a^2}{16}=0$ ✓. $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$: tích $=0$ ✓. Vậy $SJ\perp (SAB)$ ✓.

**b)** $H$ là hình chiếu của $S$ lên $IJ$. Đường $IJ$: $(\frac{a}{2};t;0)$. $\overrightarrow{SH}=(0;t-\frac{3a}{4};-\frac{a\sqrt{3}}{4})$, $\overrightarrow{IJ}=(0;1;0)$, $\overrightarrow{SH}\cdot \overrightarrow{IJ}=t-\frac{3a}{4}=0\Rightarrow t=\frac{3a}{4}$. Vậy $H=(\frac{a}{2};\frac{3a}{4};0)$, $\overrightarrow{SH}=(0;0;-\frac{a\sqrt{3}}{4})$ — $SH$ vuông góc đáy. $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$: $\overrightarrow{SH}\cdot \overrightarrow{AC}=0$ ✓. Vậy $SH\perp AC$.

**c)** $M=(t;a;0)$ trên đường thẳng $CD$. $\overrightarrow{BM}=(t-a;a;0)$, $\overrightarrow{SA}=(-\frac{a}{2};-\frac{3a}{4};-\frac{a\sqrt{3}}{4})$. $\overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{SA}=-\frac{a(t-a)}{2}-\frac{3a^2}{4}=0\Rightarrow t-a=-\frac{3a}{2}\Rightarrow t=-\frac{a}{2}$. $M=(-\frac{a}{2};a;0)$. $AM=\sqrt{\frac{a^2}{4}+a^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.