Tính các giới hạn

a) ${\lim }_{x\to 2}\frac{3\left(\sqrt{3x-2}-2\right)}{x-2}$

b) ${\lim }_{x\to +\infty }\left(\sqrt{x^2-7x+1}-x\right).$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1.

a) Khi $x\to 2$ thì $\sqrt{3x-2}-2\to 0$ và $x-2\to 0$ (dạng $\frac{0}{0}$). Nhân với liên hợp:
$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{3(\sqrt{3x-2}-2)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{3(3x-2-4)}{(x-2)(\sqrt{3x-2}+2)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{9(x-2)}{(x-2)(\sqrt{3x-2}+2)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{9}{\sqrt{3x-2}+2}=\frac{9}{2+2}=\frac{9}{4}.$$

b) Với $x\to +\infty$, nhân liên hợp:
$$\sqrt{x^2-7x+1}-x=\frac{(x^2-7x+1)-x^2}{\sqrt{x^2-7x+1}+x}=\frac{-7x+1}{\sqrt{x^2-7x+1}+x}.$$
Chia tử và mẫu cho $x>0$:
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-7+\frac{1}{x}}{\sqrt{1-\frac{7}{x}+\frac{1}{x^2}}+1}=\frac{-7}{1+1}=-\frac{7}{2}.$$

Vậy a) $\frac{9}{4}$; b) $-\frac{7}{2}$.