Tìm tất cả các giá trị của $m,n$ để hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2-\sqrt{4-x}}{x}& \text{khi }0<x<4,\\ m& \text{khi }x=0,\\ \frac{n}{x}& \text{khi }x\ge 4\end{array}$ liên tục trên nửa khoảng $[0,+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên $(0;4)$ và $(4;+\infty )$ với mọi $m,n$. Chỉ cần xét tính liên tục tại $x=0$ và $x=4$.

Tại $x=0$: hàm liên tục phải có $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=f(0)=m$. Ta có
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{2-\sqrt{4-x}}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{4-(4-x)}{x\left(2+\sqrt{4-x}\right)}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{2+\sqrt{4-x}}=\frac{1}{4}.$$
Vậy $m=\frac{1}{4}$.

Tại $x=4$: hàm liên tục phải có $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 4^{+}}{\lim }f(x)=f(4)$. Ta có
$$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{2-\sqrt{4-x}}{x}=\frac{2-0}{4}=\frac{1}{2},\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{n}{x}=\frac{n}{4},f(4)=\frac{n}{4}.$$
Do đó $\frac{n}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow n=2$.

Kết luận: $m=\frac{1}{4},n=2$. Khi đó hàm số liên tục trên nửa khoảng $[0;+\infty )$.