Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh bằng $a$, tâm $O$, $SA=SB=SC=SD=a$. Gọi $M$ là một điểm trên đoạn $OA$, $(\alpha )$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với $AD$ và $SO$. Đặt $\frac{MA}{AO}=k(0<k<1)$.

a) Chứng minh thiết diện của hình chóp đã cho cắt bởi mặt phẳng $(\alpha )$ là hình thang cân.

b) Tính các cạnh của thiết diện theo $a,k$.

c) Tính diện tích thiết diện theo $a,k$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục toạ độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $O\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0\right)$. Vì $SA=SB=SC=SD=a$ nên $SO\perp (ABCD)$ và $SO=\sqrt{a^2-A{O}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, tức $S\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)$.

a) $M\in OA$ với $\frac{MA}{AO}=k$ nên $M\left(\frac{ka}{2};\frac{ka}{2};0\right)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M$, song song với $AD$ (phương trình trục $Oy$) và $SO$ (phương trình trục $Oz$) nên $(\alpha ):x=\frac{ka}{2}$.

Thiết diện: $(\alpha )$ cắt đáy theo đoạn $PQ\parallel AD$ với $P\left(\frac{ka}{2};0;0\right)\in AB$, $Q\left(\frac{ka}{2};a;0\right)\in CD$. Trên mặt $(SAB)$, $(\alpha )$ cắt $AS$ tại $R$ (vì $x$ trên $AS$ chạy từ $0$ đến $\frac{a}{2}$): $R=\left(\frac{ka}{2};\frac{ka}{2};\frac{ka\sqrt{2}}{2}\right)$. Trên mặt $(SAD)$, $(\alpha )$ cắt $SD$ tại $T=\left(\frac{ka}{2};a-\frac{ka}{2};\frac{ka\sqrt{2}}{2}\right)$. Trên mặt $(SCD)$, $(\alpha )$ cắt theo đoạn $TQ$ (vì $T\in SD$, $Q\in CD$). Mặt $(SBC)$ có hoành độ $x\in \left[\frac{a}{2};a\right]$ nên không bị cắt.

Thiết diện là tứ giác $PRTQ$. Ta có $PQ\parallel RT$ (cùng song song với $AD$) nên $PRTQ$ là hình thang. Hơn nữa $PR=TQ=\frac{a\sqrt{3}}{2}k$ (tính ở câu b) nên hình thang cân.

b) Các cạnh:
- $PQ=a$ (song song và bằng $AD$).
- $RT=a-\frac{ka}{2}-\frac{ka}{2}=a(1-k)$.
- $PR=\sqrt{{\left(\frac{ka}{2}\right)}^2+{\left(\frac{ka\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}k$; tương tự $TQ=\sqrt{{\left(\frac{ka}{2}\right)}^2+{\left(\frac{ka\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}k$.

c) Chiều cao của hình thang (khoảng cách giữa hai đường song song $PQ$ và $RT$ trong mặt phẳng $x=\frac{ka}{2}$) là $h=\frac{ka\sqrt{2}}{2}$. Diện tích thiết diện:
$$S=\frac{PQ+RT}{2}\cdot h=\frac{a+a(1-k)}{2}\cdot \frac{ka\sqrt{2}}{2}=\frac{a^{2}k(2-k)\sqrt{2}}{4}.$$