Cho hình chóp tam giác $S.ABC$. Gọi hai điểm $M$, $N$ lần lượt thuộc các cạnh $SA$, $SC$ sao cho $SM=\frac{2}{3}SA$, $SN=\frac{2}{3}SC$.

a) Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ song song với mặt phẳng $(ABC)$.

b) Gọi $P$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tìm giao điểm của đường thẳng $AB$ với mặt phẳng $(MNP)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu a) Trong mặt phẳng $(SAC)$, vì $SM=\frac{2}{3}SA$ và $SN=\frac{2}{3}SC$ nên theo định lý Thales (hoặc hệ thức: $\frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SC}$), ta có $MN\parallel AC$. Mà $AC\subset (ABC)$ và $MN\not\subset (ABC)$, do đó $MN\parallel (ABC)$ (định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng).

Câu b) Ta tìm giao điểm của $AB$ với $(MNP)$ bằng phương pháp toạ độ vectơ (khẳng định điểm).

Bước 1: Tìm điểm $Q$ thuộc $(MNP)$ nằm trong mặt phẳng $(SBC)$, cụ thể trên đường thẳng $NP$. Biểu diễn các điểm theo $S,A,B,C$:
- Vì $SM=\frac{2}{3}SA$ nên $M=\frac{1}{3}S+\frac{2}{3}A$.
- Vì $SN=\frac{2}{3}SC$ nên $N=\frac{1}{3}S+\frac{2}{3}C$.
- $P$ trung điểm $BC$: $P=\frac{1}{2}B+\frac{1}{2}C$.

Điểm trên đường thẳng $NP$ có dạng $\lambda N+\mu P$ với $\lambda +\mu =1$:
$$\lambda N+\mu P=\frac{\lambda }{3}S+\frac{\mu }{2}B+\left(\frac{2\lambda }{3}+\frac{\mu }{2}\right)C.$$
Để điểm này thuộc đường thẳng $SB$ thì hệ số của $C$ bằng $0$: $\frac{2\lambda }{3}+\frac{\mu }{2}=0$, kết hợp $\lambda +\mu =1$ giải được $\lambda =-3,\mu =4$. Suy ra
$$Q=-3N+4P=2B-S,$$
tức $B$ là trung điểm của $SQ$ (vì $\overrightarrow{SQ}=2\overrightarrow{SB}$). Rõ ràng $Q\in NP\subset (MNP)$.

Bước 2: Trong mặt phẳng $(SAB)$, đường thẳng $MQ$ cắt $AB$ tại $I$. Điểm trên $MQ$ có dạng $M+t(Q-M)$:
$$M+t(Q-M)=\left(\frac{1}{3}-\frac{4t}{3}\right)S+\frac{2}{3}A+2tB.$$
Để thuộc $AB$ thì hệ số của $S$ bằng $0$: $\frac{1}{3}-\frac{4t}{3}=0\Rightarrow t=\frac{1}{4}$. Khi đó
$$I=\frac{3}{4}M+\frac{1}{4}Q=\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B,$$
tức $I$ là trung điểm của $AB$.

Vì $M,Q\in (MNP)$ nên $MQ\subset (MNP)$, do đó $I\in (MNP)$ và $I\in AB$.

Kết luận: Giao điểm của đường thẳng $AB$ với mặt phẳng $(MNP)$ là trung điểm $K$ của cạnh $AB$ (với $K$ là giao điểm của $MQ$ và $AB$, trong đó $Q$ trên tia đối tia $SB$ sao cho $B$ là trung điểm $SQ$).