Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng 4 (tham khảo hình vẽ). Gọi $V$ là thể tích khối chóp $S.ABCD$. Giá trị nhỏ nhất của $V$ gần với giá trị nào sau đây nhất?

Gọi $O$ là tâm đáy $ABCD$, cạnh đáy bằng $a$, chiều cao $SO=h$.
Vì $AB\parallel CD\subset (SCD)$ nên $d(A,(SCD))=d(AB,(SCD))=2d(O,(SCD))$.
Do đó $d(O,(SCD))=2$.
Kẻ $OM\perp CD\Rightarrow OM=\frac{a}{2}$. Kẻ $OH\perp SM\Rightarrow OH=d(O,(SCD))=2$.
Trong tam giác vuông $SOM$ vuông tại $O$:
$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{M}^2}\iff \frac{1}{4}=\frac{1}{h^2}+\frac{4}{a^2}\Rightarrow \frac{4}{a^2}=\frac{h^2-4}{4h^2}\Rightarrow a^2=\frac{16h^2}{h^2-4}(h>2)$
Thể tích khối chóp: $V=\frac{1}{3}{a}^{2}h=\frac{1}{3}\frac{16h^3}{h^2-4}$.
Khảo sát hàm số $f(h)=\frac{h^3}{h^2-4}$ trên $(2;+\infty )$, ta tìm được giá trị nhỏ nhất đạt tại $h=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.
Khi đó $V_{\min }=\frac{16}{3}\frac{(2\sqrt{3}{)}^3}{12-4}=\frac{16}{3}\frac{24\sqrt{3}}{8}=16\sqrt{3}\approx 27,7128$.