Cho hình chữ nhật $ABCD,AB=4a,AD=3a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB,G$ là trọng tâm tam giác $ACM$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ gốc tại B, đặt $\vec{u}=\overrightarrow{BA}$ ($|\vec{u}|=4a$), $\vec{v}=\overrightarrow{BC}$ ($|\vec{v}|=3a$, $\vec{u}\perp \vec{v}$). M là trung điểm AB nên $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$.

a) $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=-\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{u}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$. Khẳng định $\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-3\overrightarrow{BC}$ SAI.

b) G là trọng tâm tam giác ACM nên với gốc B: $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BM})=\frac{1}{3}(\vec{u}+\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{u})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Khẳng định $\frac{3}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ SAI.

c) ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat{ABC}=90^{\circ }$, do đó $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}=0$. ĐÚNG.

d) $\overrightarrow{BG}\cdot \overrightarrow{CM}=\left(\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{3}\vec{v}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}\vec{u}-\vec{v}\right)=\frac{1}{4}|\vec{u}{|}^2-\frac{1}{2}\vec{u}\cdot \vec{v}+\frac{1}{6}\vec{v}\cdot \vec{u}-\frac{1}{3}|\vec{v}{|}^2=\frac{1}{4}(16a^2)-\frac{1}{3}(9a^2)=4a^2-3a^2=a^2$. Khẳng định $-a^2$ SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$, không có hệ số 3 trước $\overrightarrow{BC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BM})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$, hệ số của $\overrightarrow{BA}$ là $\frac{1}{2}$ chứ không phải $\frac{3}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{BC}$, tích vô hướng bằng 0.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BG}\cdot \overrightarrow{CM}=\frac{1}{4}(4a{)}^2-\frac{1}{3}(3a{)}^2=4a^2-3a^2=a^2\ne -a^2$.