Cho hình chữ nhật $ABCD,AB=4a,AD=3a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB,G$ là trọng tâm tam giác $ACM$ (Hình).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0),B(4a;0),C(4a;3a),D(0;3a)$. Khi đó $M$ trung điểm $AB$ là $M(2a;0)$, trọng tâm $G$ của tam giác $ACM$ là $G\left(\frac{0+4a+2a}{3};\frac{0+3a+0}{3}\right)=(2a;a)$.

a) $\overrightarrow{CM}=M-C=(-2a;-3a)$. Mặt khác $\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-3\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(-4a;0)-3(0;3a)=(-2a;-9a)\ne \overrightarrow{CM}$. Sai.

b) $\overrightarrow{BG}=G-B=(-2a;a)$. Mặt khác $\frac{3}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=(-6a;0)+(0;a)=(-6a;a)\ne \overrightarrow{BG}$. Sai.

c) $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}=(0;3a)\cdot (-4a;0)=0$ (vì $BA\perp BC$). Đúng.

d) $\overrightarrow{BG}\cdot \overrightarrow{CM}=(-2a)(-2a)+(a)(-3a)=4a^2-3a^2=a^2\ne -a^2$. Sai.

Ghi chú: bản gốc in nhãn câu con thứ tư là 'b)' thay vì 'd)', giữ nguyên theo nguồn.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CM}=(-2a;-3a)$ còn $\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-3\overrightarrow{BC}=(-2a;-9a)$, hai vectơ không bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BG}=(-2a;a)$ còn $\frac{3}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=(-6a;a)$, hai vectơ không bằng nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
$ABCD$ là hình chữ nhật nên $BA\perp BC$, do đó $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BG}\cdot \overrightarrow{CM}=(-2a)(-2a)+a(-3a)=a^2\ne -a^2$.