Cho hình hộp $ABCD\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng 1, các góc $\widehat{BAD}=\widehat{A^{\prime }AB}=\widehat{A^{\prime }AD}=60^{\circ }$. Gọi $P$ và $Q$ là các điểm xác định bởi $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{D^{\prime }A},\overrightarrow{C^{\prime }Q}=\overrightarrow{D{C}^{\prime }}$. Tính độ dài đoạn thẳng $PQ$ (làm tròn đến một chữ số thập phân).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ cơ sở $\vec{a}=\overrightarrow{AB},\vec{b}=\overrightarrow{AD},\vec{c}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ với $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$ và $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}=\vec{b}\cdot \vec{c}=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$.

Ta có $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{D^{\prime }A}=-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}-\overrightarrow{AD}=-\vec{c}-\vec{b}$, nên $\overrightarrow{AP}=-\vec{b}-\vec{c}$.

Và $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\vec{a}+\vec{c}$, nên $\overrightarrow{C^{\prime }Q}=\vec{a}+\vec{c}$.

Tính $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }Q}$. Ta có $\overrightarrow{PA}=\vec{b}+\vec{c}$, $\overrightarrow{BC}=\vec{a}$, do đó:
$$\overrightarrow{PQ}=(\vec{b}+\vec{c})+\vec{a}+\vec{a}+\vec{c}+(\vec{a}+\vec{c})=3\vec{a}+\vec{b}+3\vec{c}.$$

Kiểm tra lại bằng toạ độ: đặt $A$ làm gốc, $P=A-\vec{b}-\vec{c}$, $C^{\prime }=A+\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$, $Q=C^{\prime }+\vec{a}+\vec{c}=A+2\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c}$. Khi đó $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}=2\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c}-(-\vec{b}-\vec{c})=2\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}$.

Xuất hiện mâu thuẫn giữa hai cách viết, cần tính lại $\overrightarrow{PQ}$ theo định nghĩa: $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}$ với $\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }Q}=(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})+(\vec{a}+\vec{c})=2\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c}$ và $\overrightarrow{AP}=-\vec{b}-\vec{c}$. Vậy:
$$\overrightarrow{PQ}=2\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c}+\vec{b}+\vec{c}=2\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}.$$

(Sai sót ở cách phân tích đầu là do viết nhầm $\overrightarrow{PA}$; kết quả đúng là $\overrightarrow{PQ}=2\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}$.)

Tính độ dài:
$$|\overrightarrow{PQ}{|}^2=4|\vec{a}{|}^2+4|\vec{b}{|}^2+9|\vec{c}{|}^2+2\cdot 4(\vec{a}\cdot \vec{b})+2\cdot 6(\vec{a}\cdot \vec{c})+2\cdot 6(\vec{b}\cdot \vec{c})$$
$$=4+4+9+8\cdot \frac{1}{2}+12\cdot \frac{1}{2}+12\cdot \frac{1}{2}=17+4+6+6=33.$$

Vậy $PQ=\sqrt{33}\approx 5,7$.