Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng 12 và $\widehat{A^{\prime }AB}=60^{\circ }$. Giả sử điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $A{C}^{\prime }$, có ảnh qua phép chiếu song song lên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ theo phương chiếu $B{A}^{\prime }$ là điểm $N$ thuộc đoạn thẳng $B^{\prime }{D}^{\prime }$. Độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $AB=\vec{b},AD=\vec{d},A{A}^{\prime }=\vec{a}$ với $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{d}|=12$ và các góc giữa chúng đều bằng $60^{\circ }$ (theo hình vẽ: $\widehat{A^{\prime }AB}=\widehat{A^{\prime }AD}=\widehat{BAD}=60^{\circ }$), nên $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{d}=\vec{b}\cdot \vec{d}=72$.

Chọn hệ trục: $A=(0;0;0)$, $B=(12;0;0)$, $D=(6;6\sqrt{3};0)$. Từ $\vec{a}\cdot \vec{b}=72$ và $\vec{a}\cdot \vec{d}=72$ suy ra $\vec{a}=(6;2\sqrt{3};4\sqrt{6})$ (vì $|\vec{a}|=12$).

Suy ra $C^{\prime }=\vec{b}+\vec{d}+\vec{a}=(24;8\sqrt{3};4\sqrt{6})$, $B^{\prime }=(18;2\sqrt{3};4\sqrt{6})$, $D^{\prime }=(12;8\sqrt{3};4\sqrt{6})$.

Vì $M\in A{C}^{\prime }$: $M=t{C}^{\prime }=(24t;8\sqrt{3}t;4\sqrt{6}t)$.

Phép chiếu theo phương $B{A}^{\prime }$: vectơ chỉ phương $\vec{v}=\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\vec{a}-\vec{b}=(-6;2\sqrt{3};4\sqrt{6})$, nên $N=M+s\vec{v}$. Vì $N\in (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên tung độ $z$ của $N$ bằng $4\sqrt{6}$: $4\sqrt{6}t+4\sqrt{6}s=4\sqrt{6}\Rightarrow s=1-t$.

Do đó $N=(30t-6;2\sqrt{3}+6\sqrt{3}t;4\sqrt{6})$.

Điều kiện $N\in B^{\prime }{D}^{\prime }$: điểm trên $B^{\prime }{D}^{\prime }$ có dạng $B^{\prime }+u(\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }})=(18-6u;2\sqrt{3}+6\sqrt{3}u;4\sqrt{6})$. So sánh: $u=t$ và $30t-6=18-6t\Rightarrow 36t=24\Rightarrow t=\frac{2}{3}$ (thỏa $u\in [0;1]$).

Khi đó $M=\left(16;\frac{16\sqrt{3}}{3};\frac{8\sqrt{6}}{3}\right)$, $N=(14;6\sqrt{3};4\sqrt{6})$.

$$M{N}^2=(-2{)}^2+{\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)}^2+{\left(\frac{4\sqrt{6}}{3}\right)}^2=4+\frac{4}{3}+\frac{32}{3}=16$$

Vậy $MN=4$.