Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $M,N$ lần lượt là trọng tâm tam giác $B^{\prime }AC$ và $D{A}^{\prime }{C}^{\prime }$



Các mệnh đề sau đúng hay sai ?

(AI giải đề cho tôi)
a) $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC\subset (ABCD)$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }\not\subset (ABCD)$ nên $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel (ABCD)$. Đúng.
b) $A{B}^{\prime }$ nằm trong $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và cắt $(CD{D}^{\prime })$ (giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường qua $B^{\prime }$ song song $CD$); $A{B}^{\prime }$ không song song với đường nào của $(CD{D}^{\prime })$ nên không song song với mặt phẳng. Sai.
c) $AC\parallel A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }C\parallel A^{\prime }D$ (tứ diện $A^{\prime }DB{C}^{\prime }$... thực chất $A^{\prime }DB{C}^{\prime }$ là hình bình hành vì $A^{\prime }D\parallel B^{\prime }C$ do $A^{\prime }D=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$... kiểm tra: $\overrightarrow{A^{\prime }D}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, $\overrightarrow{B^{\prime }C}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$). Hai cặp đường thẳng song song, trong đó $AC\cap B^{\prime }C=C$ nên $(B^{\prime }AC)\parallel (D{A}^{\prime }{C}^{\prime })$. Đúng.
d) Tọa hóa: $A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A^{\prime }(0,0,1),B^{\prime }(1,0,1),C^{\prime }(1,1,1)$. Trọng tâm $M$ của $B^{\prime }AC$: $M(\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$; trọng tâm $N$ của $D{A}^{\prime }{C}^{\prime }$: $N(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3})$. Mặt $(MDC)$: qua $D(0,1,0),C(1,1,0),M(\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$, pháp tuyến $\overrightarrow{DC}\times \overrightarrow{DM}\parallel (0,1,2)$, phương trình $y+2z=1$. Mặt $(N{A}^{\prime }{B}^{\prime })$: qua $A^{\prime }(0,0,1),B^{\prime }(1,0,1),N(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3})$, pháp tuyến $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}\times \overrightarrow{A^{\prime }N}\parallel (0,1,2)$, phương trình $y+2z=2$. Hai mặt phẳng song song phân biệt nên không cắt nhau. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC\subset (ABCD)$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }\not\subset (ABCD)$ nên $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A{B}^{\prime }$ không song song với đường nào trong $(CD{D}^{\prime })$ nên cắt mặt phẳng này (giao tuyến qua $B^{\prime }$ song song $CD$).
c) (AI giải đề cho tôi)
$AC\parallel A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }C\parallel A^{\prime }D$ (vì $\overrightarrow{A^{\prime }D}=\overrightarrow{B^{\prime }C}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$), hai đường $AC,B^{\prime }C$ cắt nhau tại $C$ nên hai mặt phẳng song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tọa hóa được $(MDC):y+2z=1$ và $(N{A}^{\prime }{B}^{\prime }):y+2z=2$; hai mặt phẳng song song phân biệt, không cắt nhau.