Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, cạnh $BC=2a$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Biết tứ giác $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình thoi có góc $\widehat{B^{\prime }BC}$ nhọn. Mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ vuông góc với $(ABC)$ và $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ tạo với $(ABC)$ góc $45^{\circ }$. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng

Chọn B.
Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ $B^{\prime }$ của tam giác $B^{\prime }BC$. Do góc $\widehat{B^{\prime }BC}$ nhọn nên $H$ thuộc đoạn $BC$.
Vì $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\perp (ABC)$ nên $B^{\prime }H\perp (ABC)$, suy ra $B^{\prime }H$ là đường cao của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Đặt $B^{\prime }H=h$.
Tứ giác $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình thoi nên $B{B}^{\prime }=BC=2a$.
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $BC=2a$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ }⟹AB=BC\cos 60^{\circ }=a,AC=BC\sin 60^{\circ }=a\sqrt{3}$.
Kẻ $HK\perp AB$ tại $K$. Vì $B^{\prime }H\perp AB$ nên $AB\perp (B^{\prime }HK)⟹AB\perp B^{\prime }K$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{B^{\prime }KH}=45^{\circ }$.
Tam giác $B^{\prime }HK$ vuông tại $H$ có $\widehat{B^{\prime }KH}=45^{\circ }⟹HK=B^{\prime }H=h$.
Vì $HK\perp AB$ và $AC\perp AB$ nên $HK\parallel AC$, suy ra $\frac{BH}{BC}=\frac{HK}{AC}=\frac{h}{a\sqrt{3}}⟹BH=\frac{2a\cdot h}{a\sqrt{3}}=\frac{2h}{\sqrt{3}}$.
Tam giác $B^{\prime }HB$ vuông tại $H$ nên: $B^{\prime }{H}^2+B{H}^2=B{B}^{\prime 2}⟺h^2+\frac{4h^2}{3}=(2a{)}^2=4a^2⟺\frac{7h^2}{3}=4a^2⟺h^2=\frac{12a^2}{7}⟺h=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.
Diện tích đáy $ABC$ là $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.
Thể tích của khối lăng trụ là:
$V=S_{ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{3a^3}{\sqrt{7}}$.