Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $BC=a,AC=b,AB=c$ với $b<c$. Khi quay tam giác vuông $ABC$ một vòng quanh cạnh $BC$, quay quanh cạnh $AC$, và quay quanh cạnh $AB$, ta thu được các hình có diện tích toàn phần theo thứ tự bằng $S_a,S_b,S_c$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Chọn A.
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên cạnh $BC$, ta có đường cao $AH=h=\frac{bc}{a}$.
1. Khi quay tam giác $ABC$ quanh cạnh $BC$, ta thu được hình ghép bởi hai hình nón có chung đáy bán kính $R=h$, đường sinh lần lượt là $b$ và $c$ (không có diện tích đáy ở ngoài):
$S_a=\pi hb+\pi hc=\pi h(b+c)=\pi \frac{bc}{a}(b+c)$.
2. Khi quay tam giác $ABC$ quanh cạnh $AC$, ta thu được hình nón có bán kính đáy $R=c$, đường cao $h_1=b$, đường sinh $l=a$:
$S_b=\pi Rl+\pi R^2=\pi ca+\pi c^2=\pi c(a+c)$.
3. Khi quay tam giác $ABC$ quanh cạnh $AB$, ta thu được hình nón có bán kính đáy $R=b$, đường cao $h_2=c$, đường sinh $l=a$:
$S_c=\pi Rl+\pi R^2=\pi ba+\pi b^2=\pi b(a+b)$.
Vì $b<c$ nên $b^2<c^2$ và $ba<ca⟹\pi b(a+b)<\pi c(a+c)$, do đó $S_b>S_c$.
Tiếp theo ta so sánh $S_c$ và $S_a$:
$S_c=\pi b(a+b)=\frac{\pi b}{a}(a^2+ab)=\frac{\pi b}{a}(b^2+c^2+ab)$.
$S_a=\frac{\pi bc}{a}(b+c)=\frac{\pi b}{a}(c(b+c))=\frac{\pi b}{a}(c^2+bc)$.
Ta xét hiệu: $(b^2+c^2+ab)-(c^2+bc)=b^2+ab-bc=b(b+a-c)$.
Theo bất đẳng thức tam giác cho tam giác vuông $ABC$, ta luôn có $a+b>c⟺b+a-c>0$.
Do đó $b(b+a-c)>0⟹S_c>S_a$.
Kết hợp lại ta được: $S_b>S_c>S_a$.