Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $I$, $J$, $K$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABC$, $AC{C}^{\prime }$, $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Mặt phẳng nào sau đây song song với $(IJK)$?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(0,1,0)$, $A^{\prime }(0,0,1)$, $B^{\prime }(1,0,1)$, $C^{\prime }(0,1,1)$.

Trọng tâm tam giác $ABC$: $I=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},0\right)$.
Trọng tâm tam giác $AC{C}^{\prime }$: $J=\left(0,\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$.
Trọng tâm tam giác $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: $K=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$.

Vectơ $\overrightarrow{IJ}=\left(-\frac{1}{3},0,\frac{1}{3}\right)$, $\overrightarrow{IK}=\left(0,0,\frac{2}{3}\right)$. VTPT của $(IJK)$: $\overrightarrow{IJ}\times \overrightarrow{IK}=\left(0,\frac{2}{9},0\right)$, tức $(IJK)$ là mặt phẳng $y=\frac{1}{3}$.

Xét các phương án:
- $(B{C}^{\prime }A)$: qua $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(0,1,0)$ là mặt phẳng $z=0$ — cắt $(IJK)$, không song song.
- $(A{A}^{\prime }B)$: qua $A(0,0,0)$, $A^{\prime }(0,0,1)$, $B(1,0,0)$ là mặt phẳng $y=0$ — song song với $y=\frac{1}{3}$. Đúng.
- $(B{B}^{\prime }C)$: qua $B(1,0,0)$, $B^{\prime }(1,0,1)$, $C(0,1,0)$ có VTPT $(1,1,0)$, không song song với $(0,1,0)$.
- $(C{C}^{\prime }A)$: qua $C(0,1,0)$, $C^{\prime }(0,1,1)$, $A(0,0,0)$ là mặt phẳng $x=0$ — cắt $(IJK)$.

Vậy mặt phẳng song song với $(IJK)$ là $(A{A}^{\prime }B)$, đáp án B.