Cho hình lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Biết $A{A}^{\prime }=6$, góc giữa đường thẳng $A^{\prime }B$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^{\circ }$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $BC$.

Vì $A^{\prime }A\perp (ABC)$ nên hình chiếu của $A^{\prime }B$ lên $(ABC)$ là $AB$, do đó góc giữa $A^{\prime }B$ và $(ABC)$ là $\widehat{A^{\prime }BA}=60^{\circ }$. Tam giác $A^{\prime }AB$ vuông tại $A$ có $\tan 60^{\circ }=\frac{A^{\prime }A}{AB}⟺\sqrt{3}=\frac{6}{AB}⟹AB=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$. Lăng trụ đều nên tam giác $ABC$ đều cạnh $2\sqrt{3}$. Do $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ nên $A{A}^{\prime }\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, suy ra khoảng cách giữa $A{A}^{\prime }$ và $BC$ bằng khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, chính là chiều cao hạ từ $A$ xuống $BC$: $d=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=3$.