Cho hình lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $\frac{2a\sqrt{3}}{3}$. Đường thẳng $B{C}^{\prime }$ tạo với mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ góc $\alpha$ thỏa mãn $\cot \alpha =2$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng:

Chọn C.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Vì tam giác $ABC$ đều cạnh $x=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$ nên $BM\perp AC$.
Lại có $BM\perp A{A}^{\prime }⟹BM\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ tại $M$.
Do đó $M{C}^{\prime }$ là hình chiếu vuông góc của $B{C}^{\prime }$ lên mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$.
Góc giữa $B{C}^{\prime }$ và $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ là góc $\widehat{B{C}^{\prime }M}=\alpha$.
Tam giác $BM{C}^{\prime }$ vuông tại $M$, ta có:
$$\cot \alpha =\frac{C^{\prime }M}{BM}=2⟹C^{\prime }M=2BM.$$
Tính $BM$:
$$BM=\frac{x\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{2a\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=a.$$
Suy ra $C^{\prime }M=2a$.
Trong hình chữ nhật $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ với chiều cao $h=C^{\prime }C$ và $MC=\frac{x}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$:
$$C^{\prime }{M}^2=C^{\prime }{C}^2+M{C}^2⟺4a^2=h^2+\frac{a^2}{3}⟺h^2=\frac{11a^2}{3}⟹h=a\sqrt{\frac{11}{3}}.$$
Diện tích đáy tam giác đều $ABC$:
$$S_{ABC}=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}=\frac{{\left(\frac{2a\sqrt{3}}{3}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\frac{4a^2}{3}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{3}.$$
Thể tích của khối lăng trụ đều là:
$$V=S_{ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{3}\cdot a\sqrt{\frac{11}{3}}=\frac{a^3\sqrt{11}}{3}=\frac{1}{3}{a}^3\sqrt{11}.$$