Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$ với $AB=a$ và $A^{\prime }B=a\sqrt{3}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là

Vì $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp AB$. Trong tam giác vuông $A{A}^{\prime }B$: $A{A}^{\prime }=\sqrt{A^{\prime }{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{3a^2-a^2}=a\sqrt{2}$.
Diện tích đáy tam giác vuông cân tại $B$ là $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{a^2}{2}$.
Thể tích khối lăng trụ là $V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{a^2}{2}\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$. Chọn A.