Khảo sát thời gian tập thể dục (đơn vị: phút) của một số học sinh khối 11, người ta thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

| Thời gian (phút) | $[0;20)$ | $[20;40)$ | $[40;60)$ | $[60;80)$ | $[80;100)$ |
| :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: |
| Số học sinh | $5$ | $9$ | $12$ | $10$ | $6$ |

Mốt của mẫu số liệu trên là

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{3x-1}{x-3}$ trên đoạn $[0;2]$ là

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$ với $AB=a$ và $A^{\prime }B=a\sqrt{3}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(-1;2;1)$ và $N(3;1;-2)$. Đường thẳng $MN$ có phương trình là

Đồ thị hàm số được cho ở hình bên dưới là của hàm số nào sau đây?

Một thầy giáo dạy toán muốn tìm hiểu thời gian hoàn thành bài tập (đơn vị: phút) của một số học sinh trong lớp học, và thầy thu được số liệu cho ở bảng sau:

| Thời gian (phút) | $[0;4)$ | $[4;8)$ | $[8;12)$ | $[12;16)$ | $[16;20)$ |
| :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: |
| Số học sinh | $2$ | $4$ | $7$ | $4$ | $3$ |

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm này là

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ tại điểm có hoành độ bằng $-2$ là

Trong không gian $Oxyz$ với đơn vị trên mỗi trục là $100$ mét và mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$. Đường hầm $X$ đi qua $A(-7;-3;-8)$ và $B(-2;0;-9)$. Đường hầm $Y$ đi qua $C(4;-6;-6)$ và $D(7;-1;-8)$. Hai đường hầm gặp nhau tại $S$. Từ $S$, đào tiếp hầm $SP$ theo hướng $\vec{u}=(2;1;2)$ lên mặt đất tại $P$. Tốc độ đào hầm $X$ là $5\text{ (m/ngaˋy)}$.

Nhiệt độ $T{}^{\circ }\text{C}$ của nước trong ấm được mô tả bởi hàm số theo thời gian như sau:
• Giai đoạn 1 (bật bếp): Kể từ lúc bắt đầu bật bếp ($t_1=0$), nhiệt độ nước tuân theo công thức $T_1(t_1)=95-75e^{-t_1}$, trong đó $t_1$ là thời gian được tính từ lúc bật bếp (đơn vị là phút).
• Giai đoạn 2 (tắt bếp): Khi nước trong ấm đạt $85^{\circ }\text{C}$, bếp được tắt ngay lập tức. Kể từ thời điểm tắt bếp này, nhiệt độ nước tuân theo công thức $T_2(t_2)=15+A{e}^{-\frac{t_2}{20}}$, trong đó $A$ là hằng số thực và $t_2$ là thời gian được tính từ lúc tắt bếp (đơn vị là phút).

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{2x^2+3x-5}{x+3}$.

Có hai phác đồ điều trị $A$ và $B$ cho một loại bệnh. Phác đồ $A$ có xác suất chữa khỏi bệnh là $60\%$ và xác suất gây tác dụng phụ nghiêm trọng là $5\%$. Phác đồ $B$ có xác suất chữa khỏi bệnh là $70\%$ và xác suất gây tác dụng phụ nghiêm trọng là $10\%$. Một bệnh nhân được điều trị ngẫu nhiên bằng một trong hai phác đồ, biết rằng xác suất chọn mỗi phác đồ là bằng nhau.

Nhân dịp kỷ niệm ngày thành lập Đoàn, Đoàn trường THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa tổ chức hội chợ. Lớp 10A dự định bán hai mặt hàng là trà sữa và trà tắc với vốn ban đầu không vượt quá $1200000$ đồng. Chi phí và lợi nhuận được tính theo ly (được cho trong bảng bên dưới). Lớp 10A tính rằng nhu cầu thị trường không vượt quá $180$ ly cả hai loại. Lợi nhuận lớn nhất mà lớp 10A có thể nhận được là bao nhiêu triệu đồng?

| Mặt hàng | Trà sữa | Trà tắc |
| :— | :—: | :—: |
| **Chi phí** | $8000$ đồng/ly | $5000$ đồng/ly |
| **Lợi nhuận** | $7000$ đồng/ly | $5000$ đồng/ly |

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ với độ dài trên mỗi trục là $10$ mét. Giả sử có một mảnh vườn được giới hạn bởi trục hoành và một phần đồ thị $(\mathcal{H})$ của hàm số $f(x)=-x^3+b{x}^2+cx+d$, ($O$ là điểm cực tiểu, $(\mathcal{H})$ cắt $Ox$ tại điểm $M(3;0)$ (tham khảo hình vẽ). Bạn An muốn trồng hoa trên mảnh đất có dạng hình tam giác $MAB$ với $A,B$ là giao điểm của đường thẳng $d:y=kx,(k>0)$ và đồ thị $(\mathcal{H})$. Khi diện tích phần trồng hoa này là lớn nhất phần đất còn lại bằng bao nhiêu mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết $x$ sản phẩm ($0<x<2000$), tổng số tiền doanh nghiệp thu được là $F(x)=2000x-x^2$ (chục nghìn đồng) và tổng chi phí doanh nghiệp bỏ ra là $G(x)=x^2+1440x+50$ (chục nghìn đồng). Công ty cũng phải chịu mức thuế phụ thu cho $1$ đơn vị sản phẩm bán được là $t$ (chục nghìn đồng) ($0<t<300$). Mức thuế phụ thu $t$ (trên một đơn vị sản phẩm) là bao nhiêu sao cho nhà nước thu được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng thu được lợi nhuận nhiều nhất theo đúng mức thuế phụ thu đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Một nhà máy sản xuất sản phẩm $M$ có tỷ lệ sản phẩm bị lỗi là $2\%$. Nhà máy sử dụng hai hệ thống kiểm tra chất lượng độc lập để phát hiện lỗi:
Hệ thống 1: Xác suất phát hiện chính xác sản phẩm lỗi là $95\%$. Xác suất báo lỗi nhầm trên một sản phẩm không lỗi là $1\%$.
Hệ thống 2: Xác suất phát hiện chính xác sản phẩm lỗi là $90\%$. Xác suất báo lỗi nhầm trên một sản phẩm không lỗi là $5\%$.
Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm. Biết rằng sản phẩm này bị cả hai hệ thống kiểm tra đều báo lỗi. Gọi xác suất để sản phẩm này thực tế không bị lỗi là $P$. Giá trị của $\frac{49}{P}$ bằng bao nhiêu?

Một thư viện trường học để vận hành chương trình đọc sách đã chuẩn bị tổng cộng $50$ quyển sách, gồm $10$ quyển cho mỗi lĩnh vực: triết học, khoa học xã hội, khoa học tự nhiên, văn học, lịch sử. Khi chọn sách cho $24$ học sinh (tức là chọn $24$ quyển sách) từ $50$ quyển đó, có bao nhiêu cách chọn sao cho thỏa mãn các điều kiện sau (biết rằng các sách thuộc cùng một lĩnh vực thì không phân biệt nhau)
• Ở mỗi lĩnh vực triết học, khoa học xã hội, khoa học tự nhiên đều chọn ít nhất $4$ quyển.
• Ở lĩnh vực văn học: hoặc không chọn quyển nào, hoặc chọn ít nhất $4$ quyển.
• Ở lĩnh vực lịch sử: hoặc không chọn quyển nào hoặc chọn ít nhất $4$ quyển.

Cho hình chóp cụt tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=4,A^{\prime }{B}^{\prime }=2$ và chiều cao $h=2$. Cô-sin của góc tạo bởi hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?