Trong không gian $Oxyz$ với đơn vị trên mỗi trục là $100$ mét và mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$. Đường hầm $X$ đi qua $A(-7;-3;-8)$ và $B(-2;0;-9)$. Đường hầm $Y$ đi qua $C(4;-6;-6)$ và $D(7;-1;-8)$. Hai đường hầm gặp nhau tại $S$. Từ $S$, đào tiếp hầm $SP$ theo hướng $\vec{u}=(2;1;2)$ lên mặt đất tại $P$. Tốc độ đào hầm $X$ là $5\text{ (m/ngaˋy)}$.

a) Sai: Đường thẳng $AB$ đi qua $B(-2;0;-9)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(5;3;-1)$ nên phương trình chính tắc là $\frac{x+2}{5}=\frac{y}{3}=\frac{z+9}{-1}$.
b) Đúng: Đường thẳng $CD$ đi qua $C(4;-6;-6)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{CD}=(3;5;-2)$. Giao điểm $S$ của $AB$ và $CD$ là $S(13;9;-12)$. Khi đó $AS=\sqrt{20^2+12^2+(-4{)}^2}=\sqrt{560}$ và $CS=\sqrt{9^2+15^2+(-6{)}^2}=\sqrt{342}$. Để hai đường hầm gặp nhau tại $S$, tốc độ đào hầm $Y$ là $v_Y=5\cdot \sqrt{\frac{342}{560}}\approx 3,91\text{ (m/ngaˋy)}$.
c) Đúng: Tia $SP$ có phương trình $x=13+2t,y=9+t,z=-12+2t$ ($t>0$). Giao với mặt đất $(Oxy):z=0\Rightarrow t=6\Rightarrow P(25;15;0)\Rightarrow a+b+c=40$.
d) Đúng: Hình chiếu vuông góc của tâm $I(15;15;-8)$ lên đường thẳng $SP$ ứng với $t=2$ là $H(17;11;-8)$, khoảng cách $d(I,SP)=IH=\sqrt{2^2+(-4{)}^2+0^2}=\sqrt{20}$. Độ dài dây cung đi qua khối cầu bán kính $R=6$ là $2\sqrt{R^2-I{H}^2}=2\sqrt{36-20}=8$ (đơn vị trục), tức là $8\cdot 100=800\text{ (m)}$.