Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với $M$ là trung điểm $BC$.

a) $AM$ nằm trong mặt phẳng đáy $(ABC)$, còn $A^{\prime }{B}^{\prime }$ nằm trong mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ song song với $(ABC)$. $AM$ không song song với $A^{\prime }{B}^{\prime }$ (chúng không cùng mặt phẳng và không có phương chung). Sai.

b) Vì $(ABC)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $AM\subset (ABC)$, $(ABC)\cap (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })=\varnothing$ nên $AM$ không cắt $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, tức $AM\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$. Đúng.

c) Mặt phẳng $(AM{A}^{\prime })$ cắt mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ theo đường thẳng qua $A^{\prime }$ song song với $AM$ (vì $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ và $AM\parallel$ đường thẳng đó trong phép chiếu lên đáy trên). Trong tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, đường thẳng qua $A^{\prime }$ song song với trung tuyến $AM$ (tức song song với $AM$ của tam giác $ABC$ tương ứng) cắt $B^{\prime }{C}^{\prime }$ tại trung điểm $M^{\prime }$ của $B^{\prime }{C}^{\prime }$ (do $AM$ là trung tuyến, tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ đồng dạng với $ABC$). Đúng.

d) Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A=(0,0,0),B=(1,0,0),C=(0,1,0),A^{\prime }=(0,0,1),B^{\prime }=(1,0,1),C^{\prime }=(0,1,1)$, thì $M=(0,5;0,5;0)$. Mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=[\overrightarrow{A{B}^{\prime }},\overrightarrow{A{C}^{\prime }}]=(-1,-1,1)$, phương trình $-x-y+z=0$. Đường thẳng $A^{\prime }M$: $(x,y,z)=(0,5t;0,5t;1-t)$. Thay vào: $-0,5t-0,5t+1-t=1-2t=0\Rightarrow t=0,5$, tức $A^{\prime }M$ cắt mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ tại điểm $(0,25;0,25;0,5)$. Vậy $A^{\prime }M$ không song song với $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$. Sai.

Kết luận: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AM\subset (ABC)$ còn $A^{\prime }{B}^{\prime }\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$; hai đường thẳng này không cùng mặt phẳng và không song song với nhau, nên $AM$ không song song $A^{\prime }{B}^{\prime }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $(ABC)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $AM\subset (ABC)$ nên $AM$ không giao với $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, suy ra $AM\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(AM{A}^{\prime })$ cắt $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ theo đường thẳng qua $A^{\prime }$ song song với $AM$. Trong tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, đường thẳng này cắt $B^{\prime }{C}^{\prime }$ tại trung điểm $M^{\prime }$ (do $AM$ là trung tuyến tam giác $ABC$ và hai đáy đồng dạng).
d) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $A=(0,0,0),B=(1,0,0),C=(0,1,0),A^{\prime }=(0,0,1),B^{\prime }=(1,0,1),C^{\prime }=(0,1,1)$, mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$: $-x-y+z=0$; đường thẳng $A^{\prime }M$ cắt mặt phẳng này tại $t=0,5$, nên $A^{\prime }M$ không song song $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.