Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy $AB=2$. Biết $A{B}^{\prime }\perp B{C}^{\prime }$, thể tích của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Lời giải: Đặt hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cạnh đáy bằng $2$, chiều cao bằng $h$. Chọn gốc tọa độ tại trung điểm $M$ của $BC$, trục $Oy$ trùng với $BC$, trục $Ox$ đi qua $A$ và trục $Oz$ song song với các cạnh bên.
Tọa độ các điểm được xác định như sau: $B(0;-1;0)$, $C(0;1;0)$, $A(\sqrt{3};0;0)$, $B^{\prime }(0;-1;h)$, $C^{\prime }(0;1;h)$.
Ta có các vectơ hướng: $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(-\sqrt{3};-1;h)$ và $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=(0;2;h)$.
Theo giả thiết $A{B}^{\prime }\perp B{C}^{\prime }$ nên tích vô hướng của chúng bằng $0$:
$\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B{C}^{\prime }}=(-\sqrt{3})\cdot 0+(-1)\cdot 2+h\cdot h=0\iff h^2-2=0\Rightarrow h=\sqrt{2}$.
Thể tích khối lăng trụ tam giác đều là:
$V=S_{△ABC}\cdot h=\left(\frac{2^2\sqrt{3}}{4}\right)\cdot \sqrt{2}=\sqrt{6}\approx 2,449$.
Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm ta được $2,45$.
Đáp số: 2,45.