Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $AB$ thỏa mãn: $AM=2BM$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $A^{\prime }(0;0;a)$, $B^{\prime }(a;0;a)$, $C^{\prime }(a;a;a)$, $D^{\prime }(0;a;a)$. Vì $AM=2BM$ nên $AM=\frac{2}{3}AB$, suy ra $M\left(\frac{2a}{3};0;0\right)$.

a) $\overrightarrow{D^{\prime }M}=\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }M}=\overrightarrow{DA}+(\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{AM})=-\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ → đúng.

b) $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$, $\overrightarrow{D{A}^{\prime }}=(0;-a;a)$. Tích vô hướng $=-a^2$, hai vecto cùng độ dài $a\sqrt{2}$ nên $\cos =-\frac{1}{\sqrt{2}}$, góc giữa hai vecto bằng $135^{\circ }\ne 60^{\circ }$ → sai.

c) $\overrightarrow{D^{\prime }M}=\left(\frac{2a}{3};-a;-a\right)$, $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(-a;0;a)$. Tích vô hướng $=0+0-a^2=-a^2\ne \frac{a^2}{3}$ → sai.

d) $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(-a;0;a)$, $\overrightarrow{C{D}^{\prime }}=(0;a;a)-(a;a;0)=(-a;0;a)$. Hai vecto bằng nhau → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
D'M = D'A' + A'M = DA + (A'A + AM) = -AD - AA' + (2/3)AB, đúng như đề.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
cos(AC, DA') = -1/√2 nên góc bằng 135°, không phải 60°.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
D'M·AB' = -a², không bằng a²/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
BA' = CD' = (-a; 0; a).