Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$. Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong hình lập phương, $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $A{A}^{\prime }\perp BD$; lại có $AO\perp BD$ (do $O$ là tâm hình vuông $ABCD$). Suy ra $BD\perp (AO{A}^{\prime })$, mà $A^{\prime }O\subset (AO{A}^{\prime })$ nên $A^{\prime }O\perp BD$. Đúng.
b) Nếu $A^{\prime }O\perp (ABCD)$ thì $A^{\prime }O\parallel A{A}^{\prime }$ (cùng vuông góc với $(ABCD)$), tức $A^{\prime },O,A$ thẳng hàng — vô lý vì $O$ là tâm hình vuông, không nằm trên đường chéo... thực tế $O$ nằm trên $AC$ nhưng $A^{\prime }O$ không song song $A{A}^{\prime }$. Cụ thể: hình chiếu của $A^{\prime }$ xuống $(ABCD)$ là $A$, mà $O\ne A$, nên $A^{\prime }O$ không vuông góc $(ABCD)$. Sai.
c) Từ a) có $BD\perp (AO{A}^{\prime })$, mà $BD\subset (A^{\prime }BD)$, nên $(A^{\prime }BD)\perp (AO{A}^{\prime })$. Đúng.
d) Giao tuyến của $(A^{\prime }BD)$ và $(ABCD)$ là $BD$. Vì $BD\perp (AO{A}^{\prime })$ nên $(A^{\prime }BD)\cap (AO{A}^{\prime })=A^{\prime }O$, $(ABCD)\cap (AO{A}^{\prime })=AO$, góc giữa hai mặt phẳng bằng góc $\widehat{A^{\prime }OA}$. Tam giác $A^{\prime }BD$ có $A^{\prime }B=A^{\prime }D=BD=a\sqrt{2}$ nên đều. Trong tam giác vuông $A^{\prime }AO$: $\tan \widehat{A^{\prime }OA}=\frac{A{A}^{\prime }}{AO}=\frac{a}{a\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}$, suy ra $\widehat{A^{\prime }OA}\approx 54,7356^{\circ }\approx 54,7^{\circ }$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$A{A}^{\prime }\perp BD$ và $AO\perp BD$ nên $BD\perp (AO{A}^{\prime })$, do đó $A^{\prime }O\perp BD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $A^{\prime }$ lên $(ABCD)$ là $A\ne O$, nên $A^{\prime }O$ không vuông góc $(ABCD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BD\perp (AO{A}^{\prime })$ và $BD\subset (A^{\prime }BD)$ nên $(A^{\prime }BD)\perp (AO{A}^{\prime })$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai mặt phẳng là $\widehat{A^{\prime }OA}$ với $\tan \widehat{A^{\prime }OA}=\sqrt{2}$, cho $\approx 54,7^{\circ }$.