Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh bằng 4. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$, $B{B}^{\prime }$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ gốc A: A(0;0;0), B(4;0;0), D(0;4;0), A'(0;0;4). Khi đó C'(4;4;4), M trung điểm AD là (0;2;0), N trung điểm BB' là (4;0;2). Suy ra $\overrightarrow{MN}=(4;-2;2)$ và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(4;4;4)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{A{C}^{\prime }}=4\cdot 4+(-2)\cdot 4+2\cdot 4=16-8+8=16$.