Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 20 cm người ta tạo thành một chiếc xà có tiết diện ngang gồm hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu đen như hình vẽ dưới đây. Diện tích tiết diện ngang lớn nhất là bao nhiêu $c{m}^2$? ( Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $R=10$ cm (bán kính), cạnh hình vuông là $a$, bốn miếng phụ là hình chữ nhật chiều dài $a$, chiều rộng $x$ gắn ra ngoài bốn cạnh hình vuông, các đỉnh ngoài nằm trên đường tròn. Điều kiện: ${\left(\frac{a}{2}+x\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=100$. Đặt $u=\frac{a}{2}+x=\sqrt{100-\frac{a^2}{4}}$. Diện tích tiết diện: $S=a^2+4ax=4au-a^2=4a\sqrt{100-\frac{a^2}{4}}-a^2$.

Dao hàm theo $a\in (0,20)$: $S^{\prime }(a)=4\sqrt{100-\frac{a^2}{4}}-\frac{a^2}{\sqrt{100-\frac{a^2}{4}}}-2a=0$ $\Rightarrow 400-2a^2=2a\sqrt{100-\frac{a^2}{4}}$ $\Rightarrow 200-a^2=a\sqrt{100-\frac{a^2}{4}}$. Bình phương: $(200-a^2{)}^2=a^2\left(100-\frac{a^2}{4}\right)$ $\Rightarrow a^4-400a^2+32000=0$ $\Rightarrow a^2=200\pm 80\sqrt{2}$. Chọn $a^2=200-80\sqrt{2}\approx 86,863$ (thỏa $200-a^2>0$), $a\approx 9,3205$.

Khi đó $u=\sqrt{100-\frac{a^2}{4}}\approx 8,8478$ và $S_{\max }=4au-a^2\approx 4(9,3205)(8,8478)-86,863\approx 243,0$.

Vậy diện tích tiết diện ngang lớn nhất xấp xỉ $243c{m}^2$.