Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh bằng $a$. Khoảng cách của 2 đường thẳng $BD$ và $A{D}^{\prime }$ là

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$, ta có $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ nên $BD\parallel (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Do đó khoảng cách giữa $BD$ và $A{D}^{\prime }$ bằng khoảng cách từ $BD$ đến mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$, tức bằng khoảng cách từ $B$ (hoặc $D$) đến mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Vì $A{B}^{\prime }\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$ (tam giác $AB{B}^{\prime }$ vuông cân) và $B{B}^{\prime }\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$, nên $B^{\prime }{D}^{\prime }\perp (AB{B}^{\prime })$, suy ra $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })\perp (AB{B}^{\prime })$ theo giao tuyến $A{B}^{\prime }$. Khoảng cách từ $B$ đến $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ bằng khoảng cách từ $B$ đến $A{B}^{\prime }$ trong mặt phẳng $(AB{B}^{\prime })$: tam giác $AB{B}^{\prime }$ vuông cân tại $B$ với $AB=B{B}^{\prime }=a$, đường cao từ $B$ xuống $A{B}^{\prime }$ có độ dài $\frac{AB\cdot B{B}^{\prime }}{A{B}^{\prime }}=\frac{a\cdot a}{a\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $A{D}^{\prime }$ là $\frac{a\sqrt{2}}{2}$, tương ứng đáp án C.