Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng 30 cm. Giả sử hai chú kiến vàng và đen xuất phát cùng một lúc tại các vị trí $A$ và $D$, kiến vàng đi thẳng từ $A$ đến $D^{\prime }$ với vận tốc 1 cm/s và kiến đen đi thẳng từ $D$ đến $B$ với vận tốc 2 cm/s. Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi bắt đầu xuất phát, khoảng cách giữa hai con kiến là bé nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 6 Phần III có đáp án là 9.

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc tại $D(0;0;0)$:
- $A(30;0;0)$ nằm trên trục $Ox$;
- $C(0;30;0),B(30;30;0)$ nằm trên mặt phẳng $Oxy$;
- $D^{\prime }(0;0;30)$ nằm trên trục $Oz$.



Đoạn $A{D}^{\prime }=30\sqrt{2}$ cm. Vectơ chỉ phương đơn vị từ $A$ đến $D^{\prime }$ là ${\vec{u}}_1=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}};0;\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
Vị trí của kiến vàng tại thời điểm $t$ giây ($v_1=1\text{ cm/s}$):
$V(t)=A+v_{1}t\cdot {\vec{u}}_1=\left(30-\frac{t}{\sqrt{2}};0;\frac{t}{\sqrt{2}}\right)$.

Đoạn $DB=30\sqrt{2}$ cm. Vectơ chỉ phương đơn vị từ $D$ đến $B$ là ${\vec{u}}_2=\left(\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}};0\right)$.
Vị trí của kiến đen tại thời điểm $t$ giây ($v_2=2\text{ cm/s}$):
$Đ(t)=D+v_{2}t\cdot {\vec{u}}_2=\left(t\sqrt{2};t\sqrt{2};0\right)$.

Khoảng cách bình phương giữa hai con kiến tại thời điểm $t$ là:
$d^2(t)={\left(30-\frac{3t}{\sqrt{2}}\right)}^2+(-t\sqrt{2}{)}^2+{\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)}^2=7t^2-90\sqrt{2}t+900$.
Tam thức bậc hai đạt giá trị nhỏ nhất tại:
$t=\frac{90\sqrt{2}}{2\cdot 7}=\frac{45\sqrt{2}}{7}\approx 9,09\text{ s}\approx 9\text{ s}$.
Vậy sau khoảng 9 giây khoảng cách giữa hai con kiến là bé nhất.