Cho tập $S=\{1;2;...;20\}$ gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên 3 số khác nhau thuộc $S$. Xác suất để 3 số lấy ra lập thành cấp số cộng hoặc cấp số nhân là $\frac{a}{b}$ (với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Tính $b-a$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 5 Phần III có đáp án là 1039.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{20}^3=1140$.
- Biến cố $A$: 3 số $(x<y<z)$ lập thành cấp số cộng. Điều kiện $x+z=2y$, tức $x,z$ cùng tính chẵn lẻ. Số cách chọn $x,z$ là $C_{10}^2+C_{10}^2=45+45=90$ cách, do đó $n(A)=90$.
- Biến cố $B$: 3 số $(x<y<z)$ lập thành cấp số nhân, tức $y^2=x\cdot z$. Liệt kê các bộ 3 số trong tập $\{1;2;...;20\}$:
$(1,2,4),(1,3,9),(1,4,16),(2,4,8),(2,6,18),(3,6,12),(4,6,9),(4,8,16),(5,10,20),(8,12,18),(9,12,16)$.
Có đúng 11 bộ, vậy $n(B)=11$.
- Do 3 số phân biệt không thể vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân nên $A\cap B=\varnothing$.
Số kết quả thuận lợi là $n(A\cup B)=90+11=101$.
Xác suất: $P=\frac{101}{1140}$.
Vì $\gcd (101,1140)=1$ nên phân số tối giản với $a=101,b=1140$.
Vậy $b-a=1140-101=1039$.