Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$ (tham khảo hình vẽ). Giá trị $\sin$ của góc giữa hai mặt phẳng $(BD{A}^{\prime })$ và $(ABCD)$ bằng

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AO\perp BD$.
Lại có $A^{\prime }A\perp (ABCD)\Rightarrow A^{\prime }A\perp BD$.
Suy ra $BD\perp (A^{\prime }AO)\Rightarrow BD\perp A^{\prime }O$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(BD{A}^{\prime })$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{A^{\prime }OA}$.
Tam giác $A^{\prime }AO$ vuông tại $A$, có $A{A}^{\prime }=a$, $AO=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Độ dài cạnh huyền $A^{\prime }O=\sqrt{A{A}^{\prime 2}+A{O}^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.
Vậy $\sin \widehat{A^{\prime }OA}=\frac{A{A}^{\prime }}{A^{\prime }O}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{6}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.