Cho hình nón đỉnh $S$, tâm $O$ có độ dài đường sinh bằng $SA=a$, đường kính đáy $AB$. Thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc $60^{\circ }$ cắt đường tròn đáy theo dây cung $MN=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$ ($M,N$ không trùng với $A$ và $B$). Biết rằng khoảng cách từ $A$ đến $MN$ bằng $a$. Thể tích khối nón bằng

Gọi $H$ là trung điểm của dây cung $MN$. Ta có $OH\perp MN$ và tam giác $SMN$ cân tại $S$ nên $SH\perp MN$. Góc giữa thiết diện $(SMN)$ và đáy là góc $\widehat{SHO}=60^{\circ }$. Đặt $OM=r$, ta có $OH=\sqrt{O{M}^2-M{H}^2}=\sqrt{r^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\sqrt{r^2-\frac{a^2}{3}}$. Trong tam giác vuông $SOH$: $SO=OH\cdot \tan 60^{\circ }=\sqrt{3}\sqrt{r^2-\frac{a^2}{3}}=\sqrt{3r^2-a^2}$. Mặt khác trong tam giác vuông $SOA$: $SO=\sqrt{S{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{a^2-r^2}$. Từ đó ta có $\sqrt{3r^2-a^2}=\sqrt{a^2-r^2}\iff 3r^2-a^2=a^2-r^2\iff 4r^2=2a^2\iff r=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Chiều cao $h=SO=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi a^3\sqrt{2}}{12}$ (độ lớn giá trị tỉ lệ $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$). Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9) và hướng dẫn giải (trang 10), chọn A.