Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng 1. Nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông $ABCD$, ta được hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông thứ hai ta được hình vuông thứ ba, tiếp tục như thế ta được một dãy các hình vuông. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hình vuông thứ $n$ là $a_n$. Cạnh hình vuông thứ 2 là đường chéo của hình vuông thứ nhất: $a_2=\sqrt{1^2+1^2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2$... chính xác là trung điểm nối hai trung điểm hai cạnh kề nên $a_2=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Mỗi lần nối trung điểm, cạnh mới bằng $\frac{\sqrt{2}}{2}$ lần cạnh cũ, nên $a_n={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{n-1}$.
a) $a_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$: Đúng.
b) $a_n={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^n$: Sai, vì với $n=1$ ta được $\frac{\sqrt{2}}{2}\ne 1=a_1$; đúng phải là ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{n-1}$.
c) Chu vi $u_n=4a_n=4{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{n-1}=4\sqrt{2}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^n$: Đúng.
d) Tổng chu vi $S={\sum }_{n=1}^{\infty }4{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{n-1}=\frac{4}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{8}{2-\sqrt{2}}=4(2+\sqrt{2})=8+4\sqrt{2}$. Vậy $a=8,b=4\Rightarrow a+b=12$: Đúng. Khớp đáp án nguồn (Đ, S, Đ, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Cạnh hình vuông thứ 2 bằng đường nối trung điểm hai cạnh kề của hình vuông cạnh 1: $a_2=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là $a_n={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{n-1}$; với $n=1$ biểu thức đề cho cho $\frac{\sqrt{2}}{2}\ne 1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=4{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{n-1}=4\sqrt{2}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^n$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng chu vi là cấp số nhân vô hạn: $S=\frac{4}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=8+4\sqrt{2}$, nên $a+b=8+4=12$.